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一個數學突破,進入了物理學領域

2024-01-27 10:38:04

一頂神奇的“帽子”

2023年3月末,一頂神奇的“帽子”,讓眾多數學家驚歎不已。現在,這頂“帽子”,已經進入了物理學領域。

“帽子”實際上是一種由多個風箏形狀組成的十三邊形,它是數學家在尋找已久之後發現的首個“愛因斯坦”。

“帽子”是首個被發現的單鋪砌塊。(圖/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023)

“愛因斯坦”源自於德語中的ein Stein,即“一塊石頭”的意思,指的是單鋪砌塊(monotile)。單鋪砌塊指的是一個可以填滿無限平面,且不會自我重複的非週期性鋪砌塊。非週期性意味著,由這種形狀構成的整體圖案,不能透過平移或旋轉來恢復相同的圖案。

在數學的鋪砌領域,尋找“愛因斯坦”是許多數學家追求了半個多世紀的一座“聖盃”。在“帽子”出現之前,數學家需要多種形狀來組成非週期鋪砌塊。比如數學家發現的首個可以覆蓋無限平面的非週期鋪砌是由2萬多種形狀組成的。在後續的研究中,數學家們在逐漸地縮小這一數字。

直到上世紀70年代,著名數學家和物理學家羅傑·彭羅斯(Roger Penrose)僅使用兩種不同的菱形,完成了非週期性鋪砌。

由兩種菱形組成的彭羅斯鋪砌。(圖/scipython)

彭羅斯鋪砌塊與自然世界有著深厚的聯絡。1982年,材料科學家丹·謝赫特曼(Dan Shechtman)發現,準晶體(一種有序但非週期性的晶體)的分子結構中,也存在與彭羅斯鋪砌塊相似的對稱性。他也因這一發現而獲得了2011年的諾貝爾化學獎。

單鋪砌塊與準晶體

“帽子”的發現揭示了一些與非週期鋪砌塊磚有關的新穎數學。然而,對於粒子在這種結構中傳播的物理學,仍然是沒有被探索的領域。

在一項新發表於《物理評論快報》雜誌的研究中,一個研究團隊就計算了一種二維材料中的電子的性質,這種材料是一種基於“帽子”形狀的準晶體,其中的原子位於“帽子”的頂點。

通常,科學家在研究一種材料時,會觀測其電子能量與其波長之間的關係。根據量子物理學,電子以波的形式在物質中傳播,而波長可以表示這些波的大小。在這種能量-波長關係中,研究人員發現,“帽子”準晶體與石墨烯(一種碳二維晶體)具有驚人的相似之處。這種相似性可能是因為,“帽子”的許多頂點,都是沿著像石墨烯一樣的六邊形網格排列的。

“帽子”鋪砌塊是由單一的鋪砌塊形狀、而非多個形狀組成的這一事實,實際上有助於解釋它是如何跨越晶體和準晶體的界限的。單鋪砌塊意味著它比其他非週期性鋪砌塊更接近週期性,但卻不會出現重複。

“帽子”與石墨烯的不同

不過,“帽子”準晶體也與石墨烯有不同之處,比如“帽子”鋪砌塊是手性的,這意味著如果對這種材料進行鏡面反射,那麼它的電子就會有不同的行為。在真實的材料中,這種手性可能會影響光與物質的相互作用。


在這個動畫中,一個基於“帽子”鋪砌塊的模擬材料顯示,隨著磁場的增加,電子開始被捕獲。更亮的顏色表示找到零能電子的機率更高。(圖/A. GRUSHIN/INSTITUT NÉEL/CNRS)

當研究人員將這種材料置於磁場中時,更多有趣的特徵出現了。在“帽子”鋪砌塊中,一小部分形狀是其他部分的映象。電子,特別是那些零能電子,會在特定的磁場值下被捕獲在翻轉的“帽子”周圍。

研究人員認為,這些發現非常有趣。雖然這種材料目前完全是理論上的,但研究人員提出了一些將這種材料變為現實的方法。例如,可以透過在一個平面上將分子按照“帽子”的形狀放置。

#創作團隊:

編譯:佐佑

排版:雯雯

#參考來源:

https://www.sciencenews.org/article/quasicrystal-einstein-tile-hat-shape

https://arxiv.org/pdf/2307.11054.pdf

#圖片來源:

封面圖&首圖:A. GRUSHIN/INSTITUT NÉEL/CNRS

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