一頂神奇的“帽子”
2023年3月末，一頂神奇的“帽子”，讓眾多數學家驚歎不已。現在，這頂“帽子”，已經進入了物理學領域。
“帽子”實際上是一種由多個風箏形狀組成的十三邊形，它是數學家在尋找已久之後發現的首個“愛因斯坦”。
“帽子”是首個被發現的單鋪砌塊。（圖/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023）
“愛因斯坦”源自於德語中的ein Stein，即“一塊石頭”的意思，指的是單鋪砌塊（monotile）。單鋪砌塊指的是一個可以填滿無限平面，且不會自我重複的非週期性鋪砌塊。非週期性意味著，由這種形狀構成的整體圖案，不能透過平移或旋轉來恢復相同的圖案。
在數學的鋪砌領域，尋找“愛因斯坦”是許多數學家追求了半個多世紀的一座“聖盃”。在“帽子”出現之前，數學家需要多種形狀來組成非週期鋪砌塊。比如數學家發現的首個可以覆蓋無限平面的非週期鋪砌是由2萬多種形狀組成的。在後續的研究中，數學家們在逐漸地縮小這一數字。
直到上世紀70年代，著名數學家和物理學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）僅使用兩種不同的菱形，完成了非週期性鋪砌。
由兩種菱形組成的彭羅斯鋪砌。（圖/scipython）
彭羅斯鋪砌塊與自然世界有著深厚的聯絡。1982年，材料科學家丹·謝赫特曼（Dan Shechtman）發現，準晶體（一種有序但非週期性的晶體）的分子結構中，也存在與彭羅斯鋪砌塊相似的對稱性。他也因這一發現而獲得了2011年的諾貝爾化學獎。
單鋪砌塊與準晶體
“帽子”的發現揭示了一些與非週期鋪砌塊磚有關的新穎數學。然而，對於粒子在這種結構中傳播的物理學，仍然是沒有被探索的領域。
在一項新發表於《物理評論快報》雜誌的研究中，一個研究團隊就計算了一種二維材料中的電子的性質，這種材料是一種基於“帽子”形狀的準晶體，其中的原子位於“帽子”的頂點。
通常，科學家在研究一種材料時，會觀測其電子能量與其波長之間的關係。根據量子物理學，電子以波的形式在物質中傳播，而波長可以表示這些波的大小。在這種能量-波長關係中，研究人員發現，“帽子”準晶體與石墨烯（一種碳二維晶體）具有驚人的相似之處。這種相似性可能是因為，“帽子”的許多頂點，都是沿著像石墨烯一樣的六邊形網格排列的。
“帽子”鋪砌塊是由單一的鋪砌塊形狀、而非多個形狀組成的這一事實，實際上有助於解釋它是如何跨越晶體和準晶體的界限的。單鋪砌塊意味著它比其他非週期性鋪砌塊更接近週期性，但卻不會出現重複。
“帽子”與石墨烯的不同
不過，“帽子”準晶體也與石墨烯有不同之處，比如“帽子”鋪砌塊是手性的，這意味著如果對這種材料進行鏡面反射，那麼它的電子就會有不同的行為。在真實的材料中，這種手性可能會影響光與物質的相互作用。
在這個動畫中，一個基於“帽子”鋪砌塊的模擬材料顯示，隨著磁場的增加，電子開始被捕獲。更亮的顏色表示找到零能電子的機率更高。（圖/A. GRUSHIN/INSTITUT NÉEL/CNRS）
當研究人員將這種材料置於磁場中時，更多有趣的特徵出現了。在“帽子”鋪砌塊中，一小部分形狀是其他部分的映象。電子，特別是那些零能電子，會在特定的磁場值下被捕獲在翻轉的“帽子”周圍。
研究人員認為，這些發現非常有趣。雖然這種材料目前完全是理論上的，但研究人員提出了一些將這種材料變為現實的方法。例如，可以透過在一個平面上將分子按照“帽子”的形狀放置。
#創作團隊：
編譯：佐佑
排版：雯雯
#參考來源：
https://www.sciencenews.org/article/quasicrystal-einstein-tile-hat-shape
https://arxiv.org/pdf/2307.11054.pdf
#圖片來源：
封面圖&首圖：A. GRUSHIN/INSTITUT NÉEL/CNRS
