時時頭條
  • 娛樂
  • 體育
  • 財經
  • 科技
  • 旅遊
  • 軍事
  • 育兒
  • 時尚
  • 遊戲
  • 歷史
  1. 首頁
  2. 科技

數學與計算,孰先?

2024-02-10 20:22:40

數學和計算都是人類為了對自然世界進行推理而發展出來的工具。

撰文 | 摩西·瓦迪(Moshe Vardi)(計算機科學家,美國萊斯大學教授)

數學到底是由人類發現還是發明的,這是數學哲學中最根本的難題之一。一方面,對於如不可達基數之類高度複雜的數學物件,似乎很難論證說它們是被發現的。但另一方面,正如愛因斯坦也曾問道:“數學作為人類思維的產物,與經驗無關,其如何能如此完美地適用於自然物件呢?”19世紀的數學家利奧波德·克羅內克(Leopold Kronecker)作出了妥協,他說:“上帝創造了整數,其他一切都是人思想的產物。”

於是,讓我們考慮考慮自然數。在非洲萊邦博山的一個洞穴中人們發現了一塊由狒狒脛骨製成的骨質工具,上面有刻痕,人們稱其為萊邦博骨。這塊骨頭有四萬多年的歷史,人們推測它是用來計數的,上面的29個凹槽也許對應著月相的變化。它被認為是最古老的數學工藝品。但我們不應該稱它為最古老的計算工藝品嗎?畢竟,計數是計算最基本的形式。

在數學史上,演繹論證大約在 2,500 年前由希臘人發現,這一發現也被稱為“希臘之謎”。畢達哥拉斯(Pythagoras)認為他對其定理的證明是“神的恩賜”。演繹證明提供了某個命題成立不容置疑的證據 —— 它是通向真理的康莊大道。

希臘人還發現了說謊者悖論。對於一個指涉自身的句子,我們可能無法判斷其真假。十九世紀,格奧爾格·康託(Georg Cantor)用自指性的思想證明了存在無窮多個不同的無窮——克羅內克對此結果則不予理會,他認為“那裡沒有數學”。隨後,伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)又運用類似的思想證明了集合論是不一致的。集合論作為數學的基礎理論竟會推出矛盾,這引發了所謂的數學基礎危機。數學證明為數學真理提供了不容置疑的證據,但到底什麼構成了證明?

作為對該危機的回應,大衛·希爾伯特(David Hilbert),二十世紀上半葉最具影響力的數學家之一,發起了希爾伯特計劃。該計劃主要包含三個方面,其目標是證明數學是一致的(不能同時證明一個數學命題及其否定),數學是完備的(所有為真的數學陳述都可以被證明),數學是可判定的(存在一種機械的演算法來判定一個給定的數學陳述為真還是為假)。

上世紀三十年代,庫爾特·哥德爾(Kurt Gödel)摧毀了希爾伯特計劃的前兩個目標,他證明了基礎算術不是完備的,且其一致性也無法在算術本身中得到證明。不久之後,阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)和艾倫·圖靈(Alan Turing)的工作讓最後一個目標也成了幻夢。他們定義了可計算性,並說明了數學真理是不可計算的。人們可以將該結論理解為數學的領域超越了可計算的領域。

然而,計算機科學是在希爾伯特計劃的廢墟上誕生的:我們從此有了可計算性的定義、硬體與軟體的區分、以及通用計算機的概念。在這驚人的歷史交匯中,真正的計算機很快就被建造出來:1941 年由楚澤(Zuse)製造的 Z3,1942 年的阿塔納索夫-貝瑞計算機(Atanasoff-Berry Computer,ABC),以及 1946 年的ENIAC——第一臺數字、電子、可程式設計的計算機。

上世紀五六十年代,隨著計算的價值在科學和商業中逐漸凸顯,我們很快發現僅僅瞭解可計算性是不夠的。解決某些計算問題似乎需要大量的時間和空間資源。某些問題似乎只能透過窮舉搜尋來解決,而隨著問題引數的增加,這將很快變得不切實際。計算複雜性理論就是為了理解這些現象發展起來的學科。

上世紀七十年代初出現的 NP 完備性理論正是旨在理解窮舉搜尋的困難程度。若一個問題屬於 NP,則我們可以非常有效地檢驗該問題一個可能的答案是否是正確的。NP 完全的問題是那些在某嚴格意義上屬於 NP 的最難的問題。史蒂芬·庫克(Stephen Cook)和列昂尼德·列文(Leonid Levin)證明了處於演繹推理核心的布林可滿足性問題是 NP 完全的。然而,目前我們仍不知道是否真的無法有效解決 NP 完全的問題。

1979 年,基於 NP 完備性理論,庫克和羅伯特·雷克豪(Robert Reckhow)終於回答了這一最基本的問題,即數學證明是什麼:它是某種極其嚴格的證據,以至於可以透過計算對其正確性進行檢驗。如此看來,數學終究沒有超越計算。相反,計算始終位於數學的核心。

那麼,數學和計算孰先?都不是!它們都是人類為了對自然世界進行推理而發展出來的工具。數學和計算已經交織在一起四萬多年了,今後也仍將繼續如此。

本文經授權轉載自微信公眾號“水木邏輯”,原標題為《清華邏輯隨筆 | 摩西·瓦迪:數學與計算,孰先?》,本文英文原文發表於 Communications of the ACM, Nov. 2023, Vol. 66 No. 11, Page 5,中文文稿經由“水木邏輯”翻譯整理而成。

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部選單“精品專欄“,可查閱不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號,回覆四位陣列成的年份+月份,如“1903”,可獲取2019年3月的文章索引,以此類推。

熱門資訊
  • 我國首款巢狀式霍爾推力器成功點火執行:50 千瓦級雙環動力 | 2024-02-01 03:27:14
  • 拒絕美國邀請,曾建造世界最大運輸機的烏克蘭頂級專家投奔中國 | 2024-02-01 04:20:49
  • 24GB+1TB突降457元,驍龍8Gen3+2K屏+5400mAh,久用流暢榜第一名 | 2024-02-01 04:41:01
  • 小米“用力太猛”,釋出僅兩個月變相降價,16GB+1TB+驍龍8Gen2 | 2024-02-01 04:41:08
  • 不計成本衝高端!小米14 Ultra要漲價了:起步超6000元 | 2024-02-01 04:41:11
  • TUF GAMING RTX 4080 SUPER實測,4K遊戲超能力完全釋放 | 2024-02-01 04:41:14
  • 從4899元跌至2580元,12GB+256GB+50倍變焦,曲面屏旗艦重回低價 | 2024-02-01 04:41:17
  • 三星 Galaxy S24 Ultra DXOMARK 影像測試結果出爐:總分144,位列排行榜第 18 名 | 2024-02-01 04:50:18
  • 微星 RTX 4080 SUPER 16G EXPERT 大神顯示卡釋出,8799 元 | 2024-02-01 04:50:28
  • 榮耀“用力太猛”,Magic5系列跌價1576元,12GB+256GB+驍龍8Gen2 | 2024-02-01 04:50:31
  • AMD完全不急!Zen5銳龍得等下半年、X3D更是明年 | 2024-02-01 04:50:33
  • 12GB+512GB+80W閃充,頂配版僅售2130元,曲面屏手機跌至新低 | 2024-02-01 04:50:36
  • 8099元是你的菜嗎!NVIDIA RTX 4080 SUPER首發評測:能效比2倍於RTX 3090 Ti | 2024-02-01 04:57:44
  • 榮耀終於妥協,釋出僅兩個月下跌500元,16GB+512GB+驍龍8Gen2 | 2024-02-01 04:57:47
  • 小霸王創始人盛讚蘋果頭顯:很酷 真的很神奇 | 2024-02-01 04:57:52
  • 天鋇賽博 GOD88 迷你主機上架:R7 8845HS 準系統到手 2688 元 | 2024-02-01 04:59:25
  • 英偉達釋出 551.31 WHQL 驅動,支援 RTX 4080 SUPER 顯示卡 | 2024-02-01 04:59:33
  • Intel發燒處理器衝上60核心!AMD撕裂者第二即可秒殺之 | 2024-02-01 04:59:37
  • 別了“諾基亞手機”,NokiaMobile 海外官號現已更名為 HMD | 2024-02-01 04:59:41
  • 累計破200萬臺!大家公認的價效比系列手機,起售價僅為1699元 | 2024-02-01 05:03:12
  • 60天賣出200萬臺,16GB+1TB+5500mAh,如今僅售2246元 | 2024-02-01 05:03:21
  • 蘋果釋出iOS/iPadOS 17.4首個公測版:帶來歐盟專屬功能和新表情 | 2024-02-01 05:03:25
  • 解鎖AI手機未來體驗 三星Galaxy S24系列火熱開售 | 2024-02-01 05:03:29
  • 支援衛星通訊!小米MIX Fold 4要來了:代號“如意” | 2024-02-01 05:26:46
  • 四個月熱銷320萬臺,12GB+258GB+IP68防水,如今只賣1704元 | 2024-02-01 05:34:59
  • 研究發現銀河系邊緣的恆星可能執行更慢 | 2024-02-01 05:35:10
  • 明年iPhone或外觀大改,A18 Pro跑分曝光 | 2024-02-01 05:40:31
  • 巨型空天飛機?SpaceX:美國國防部要求接管星艦,執行敏感任務! | 2024-02-01 06:11:02
  • 會是15代酷睿嗎!Intel Bartlett Lake首曝:不換介面、繼續DDR4 | 2024-02-01 06:11:06
  • 播放時長43h+,蘋果合作商 mophie 推出龍年限量版 Powerstation plus | 2024-02-01 06:19:46
最近發布
突發!TVB知名女星毫無預警宣佈與未婚夫分手,結束長達八年情 面對被黑,蘭姐強勢迴歸。小菲狀態好轉,發宣告。更多內幕揭曉! 中國男籃決戰日本隊,首發五人曝光,廣東隊大贏家,徐傑第一後衛 孫穎莎奪女單冠軍!採訪謙遜立足拼,劉國樑給中國選手頒獎笑開花 分析 馬威交易取消後的影響:湖人還有什麼選擇?只能等休賽期? 火箭vs猛龍前瞻:範弗裡特有望復出戰舊主,火箭欲終結六連敗 梅西轟動宏都拉斯!當地媒體:這是世紀體育盛事! 登記開啟!金中、29中、13中等校動了! 開年暴擊!南京又一家機構跑路了? TechInsights:AI PC未能提振筆記本市場 2024年僅增長5% 睡覺時突然腿抽筋,就是缺鈣?錯!還有這4個原因,別輕易忽視了 泡泡瑪特又贏麻了!此前被調侃是“境內最大的博彩公司” 再也不用扎手指!5億糖尿病患者有福了 傳《尼爾:機械紀元》續作、新《古墓麗影》今年公佈 有工作經驗的畫素畫師如何寫簡歷? 離譜!Xun被搶3條龍,JDG仍然獲勝!Peyz力挽狂瀾,WBG痛失好局 將耗死在國際空間站?59歲美滯留女宇航員求救:喪失重要身體機能 華為FreeClip耳機玫瑰金開售 開放式聆聽設計 CBA俱樂部杯-山西淘汰北控晉級4強 原帥18分 小紅書上移民的中產:曾經北京七套房, 羨慕海外一張床, 如今卻...... 不可抗力停課2天以上退一半保教費,佛山幼兒園收費新規釋出 紅棉襯醉美,2020番順醉美青餅評測 華為FreeClip耳夾耳機玫瑰金配色開售:1299元 64歲寧波老闆,跨界無數次,給員工發8億,即將擁有第三家IPO? 卡友資訊股東持股情況變動 廣州“城市合夥人”:城市與人才的雙向奔赴 有人說孫穎莎粉絲是飯圈文化的時候 卻有些人用真金白銀愛孫穎莎! 男生剪“短髮”髮型乾淨利落,試試這3款,剪完帥氣提升顏值! 7個臀部訓練最佳動作,打造迷人的蜜桃臀! 偉大的4-2!林詩棟奪冠:新科世界第1誕生、超越王楚欽,狂攬3冠 新疆完美了!新小外強於皮特森+黑根斯,承認補強大外良性競爭! 林詩棟奪男單冠軍!採訪大談不容易太謙遜,單獨拍照露出笑容! 國乒最新戰報!林詩棟第2局11-8,衝3冠王,梁靖崑救2局點仍輸球 替補奇兵!快船大將5記3分助隊贏球 哈登好幫手 爆冷!北控男籃吊打奪冠大熱門球隊,外援決定比賽的走向 官宣離任,胡明軒宣佈重要決定,廣東宏遠遺憾,杜鋒祝福 又一個賈德松!崔康熙看人很準,魯媒:卡約又要錯過中國聯賽了 劉國樑憔悴!黑眼圈很重,擋住蒯曼被提醒,孫穎莎王楚欽被裁判整 林詩棟逆轉梁靖崑奪冠,成就三冠王,綜合實力更加突出 CBA最新外援註冊資訊,遼籃4人,新疆補充新援,廣東男籃放棄萊斯 大滿貫收官獎金排名:林詩棟三冠60萬第1,孫穎莎第2王曼昱10萬第9 臺灣律師分析大S遺產劃分,S媽要錢得看汪小菲臉色,打臉光頭安排 臺媒曝大S家人鬆手,讓出撫養權給汪小菲,希望馬筱梅善待孩子 二線白酒暴雷,狼真的來了! 搭上比亞迪,自動駕駛獨角獸,利潤大增170%! 炸裂!外資吹響“加倉中國”集結號背後:科技格局重塑與資產重估 這波夢幻西遊副本積分兌換真是血虧,四賜福的山賊值得買嗎? 《星戰亡命之徒》高階美工又回到CDPR 開發《巫師4》 《哪吒2》登陸北美,首映禮現好萊塢!有觀眾哭花眼妝:特效超預期,買票靠搶 曝張蘭被封年損失近4億,麻六記絕地自救太壯觀,員工曬張蘭近況

©2024 時時頭條 版權所有

隱私政策 | 服務條款 | 聯繫我們