自旋是物理學的核心概念之一，關於它的研究為我們打開了奇妙的量子世界。有趣的是，自旋角動量不僅存在於量子系統，也存在於經典的波動系統。長期以來，人們一直認為只有圓偏振的橫波（如電磁波）才有自旋，因為對於彈性縱波（如流體中的聲波）沒有與傳播方向垂直的偏振。事實果真如此嗎？本文將介紹有關彈性波自旋的探索。
撰文 | Young
1引子：從角動量談起
相信大家都玩過陀螺，並且瞭解陀螺的好玩之處：它轉速越快，越難摔倒。而要倒下時，它並不會在重力的作用下直接倒下，而是歪斜著繼續旋轉。這是因為陀螺旋轉的速度越大，它沿著旋轉軸方向的角動量也就越大，想要改變陀螺旋轉軸的方向也就越困難。陀螺的這些性質可以用一個定律來概括：角動量守恆。
如今，以陀螺命名的角速度陀螺儀，已廣泛應用於各種場景；無論是大眾消費品——手機，還是人類探索的前沿——衛星，都依靠陀螺儀來感知姿態和方向。雖然它們與玩具陀螺的結構已經大相徑庭，但是其核心功能依然是利用角動量守恆這一基本的物理規律來實現的。可以說，角動量相關的研究，是基礎研究和科技發展不可或缺的一環。
在各類物理系統的研究中，波的角動量相關性質也備受關注。比如電磁波里，包括由電磁場偏振特徵決定的“自旋”角動量和由相位的空間分佈決定的“軌道”角動量。合理的刻畫和操控電磁波的角動量，可以幫助人們提升通訊通道和頻寬。類似的，在空氣聲波的研究中，軌道角動量也可以被用來提升聲波通訊的通道和頻寬，並被用於操控粒子的旋轉。相比電磁波，人們更關注聲波的“軌道”角動量。因為空氣是流體，而理想流體中沒有剪下力，一般意義上這表明空氣聲波的速度場沒有旋度。因此，空氣聲波沒有類似於電磁波的，與傳播方向垂直的偏振行為；由“聲波無旋”得出的“聲波沒有自旋角動量”也一直是人們的共識。但是，沒有旋度和沒有自旋角動量真的可以畫等號嗎？
我們知道，聲波描述的其實是介質的彈性振動。廣義上，聲波不僅包含空氣等流體介質中的聲波，還有固體聲波。我們可以將其統稱為彈性波。為了更系統地探究“空氣聲有沒有自旋角動量”這個問題，我們不妨先看看彈性波的角動量是怎樣的。
2彈性波中的角動量
在開始探討彈性波攜帶的角動量之前，我們還需要澄清兩個問題：（一）我們討論的“自旋”，是量子力學中的自旋嗎？
對於宏觀系統，研究波的自旋可以不用量子力學的知識。以電磁波為例，在量子光學中，電磁波的自旋角動量其實就是光子的自旋。但是從宏觀視角研究電磁波，不進入量子效應的範疇，圓偏振的經典電磁場就可以擁有自旋角動量了。
（二）既然電磁波的量子化描述是光子，那麼彈性波的量子化描述是什麼？它有自旋嗎？
彈性波的量子化描述是“聲子”[1]，彈性波和聲子的自旋也可以透過場的量子化描述聯絡起來[2]。雖然聲子自旋早在1961年就有相關研究，但是先前的研究工作更關注“橫波”聲子（即剪下振動的圓偏振模式），並未回答旋度為零的“縱波”有沒有自旋角動量。
此文以下的討論還是以經典視角為主。
在經典力學中，一個質點對某一固定點O的角動量L的定義為：
其中，r是從點O指向質點的位置向量，p是質點的動量（即質點質量和質點速度的乘積），x代表向量的叉積。如果將彈性介質視為一系列質點的集合，那麼彈性波就是這些質點的振動（如圖1所示）。這些質點在振動中相對於某一固定點O攜帶的角動量，就是彈性波攜帶的角動量了。
圖1 彈性波可以視為一系列質點的振動。
值得注意的是，人們常討論的承載彈性波的連續介質，其質量微元之間是有位置關係的要求的，和自由運動的質點不同。
圖2 雙星系統。
舉例來說，兩個自由的質點可以進行圖2中的雙星運動。但對於彈性波，介質中任意兩個質量微元更像是一塊布上的兩個點。在保證布不被撕裂且不發生整體移動的前提下，這兩個質量微元是不能像上面的雙星系統一樣跳二人轉的。因此，比起離散的質點，彈性波更適合用連續的“場”來描述。
在沒有彈性波傳播時，我們設質量微元相對於座標系原點的位置向量為r；有彈性波時，質量微元的位置為u(t)+r，其中u即表示質量元偏離平衡位置的向量，是與時間相關的函式。這樣我們就得到了一個能夠表徵彈性波的，且與時間相關的向量場：u(r, t)，表示每一個平衡位置r上得到了一個位移向量u。平衡位置r與時間無關，“布”就不會發生整體的移動；且我們要求這個向量場的導數存在且連續，也就保證了“布”永遠是光滑的，不會被撕裂。因此，我們不妨把質點圖換成向量場u(t)+r的圖，箭頭的起點位於r，箭頭的方向表示u的方向，箭頭的大小表示|u|。以圖3中的固體聲表面波——瑞利波為例，質點集合的振動可以用一個隨時間變化的向量場描述。
圖3 固體中的瑞利波；左圖為質點影象，右圖為位移場影象。
那麼，我們應該如何討論這個場的角動量呢？
不妨讓我們聽從牛爵爺的建議，站在巨人的肩膀上。有請數學和物理學界的巨人，埃米·諾特（Emmy Noether）。（編者注：參見《令數學眾神欽佩的數學家，她提出的定理成為20世紀物理學的基石》。）
埃米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）
她告訴我們，任何物理系統作用量的微分對稱性都有一個對應的守恆律。簡單來說，就是我們把一個物理系統的座標系平移一下，旋轉一下，甚至扭曲一下，而讓它的作用量保持原樣，那就可以找出對應的守恆量。例如，時間平移對稱性對應能量守恆，空間平移對稱性對應動量守恆，空間旋轉對稱性對應角動量守恆。對於彈性波來說，我們只需要寫出它的拉格朗日量，再給其變個分，轉一下，就能得到彈性波角動量的形式了。
至於如何在旋轉操作中分出軌道和自旋，我們可以從“算符”和旋轉矩陣的語言出發（注意這並不意味著我們需要考慮量子效應才能描述彈性波自旋），給出一種教科書裡常用的“懶人”理解方式。對向量場做無窮小旋轉時，可以把旋轉理解為兩個部分：對座標系旋轉，在圖4中用藍線標出；對向量本身旋轉，在圖4用紅線標出。前者可以得出“軌道”部分，後者可以得到“自旋”部分。我們可以從中看到“軌道”和“自旋”的差別：前者與空間上的整體分佈有
其中Im[ ]表示取方括號內的虛部。簡諧振動的情況下，位移場u也正比於速度場
的複共軛，用速度場的形式寫出S也是可以的。
對於軌道角動量和自旋角動量的區別，用表示式中是否有r來解釋終歸不太直觀。為了更清楚地指出這二者之間的差別，我們可以構思一個極細的彈性圓環，並且假設圓環振動只有軌道角動量密度/自旋角動量密度，看看對應的振動模式是怎樣的。如圖5所示，黑色的圓環表示圓環的平衡位置，以這個圓圈為起點繪製一系列表示u的黑色箭頭。
圖5 只有軌道角動量密度（OAM）時位移場（黑色箭頭）隨時間的變化。可以看出每一個位置的位移場都不改變方向，但是振動模式整體是在旋轉的。
此時，整個圓環的振動狀態在“轉圈”，但每一個黑色箭頭都沒有改變方向，只是在改變大小。這意味著質量微元的運動總是“直來直去”的，單獨觀察圓環上某一個固定位置的振動就可以發現，質量微元自己並沒有在轉圈，即自旋角動量密度為零（每一個質量微元自己並沒有圓極化的振動），但是軌道角動量密度不為零——質量微元的振動狀態（或能流）在沿著逆時針方向傳播。那麼，如果圓環上的振動模式並不沿著圓環傳播，是不是就沒有軌道角動量了？是的，就像圖6所示的圓環，它整體的軌道角動量就是零。
圖6 只有自旋角動量密度（SAM）時位移場隨時間的變化。可以看出，振動模式整體上並未旋轉，但是每一個固定位置的位移場在旋轉。
顯然，此時圓環的振動狀態並沒有沿著圓環順時針或者逆時針傳播，但是表示質量微元位移的黑色向量是在旋轉的，也就是這些質量微元是攜帶了角動量的。所以，這個圓環的軌道角動量密度為零，但是自旋角動量密度非零。
值得注意的是，從以上的分析中我們也能看出，場（波）的自旋即是該場極化向量（比如位移，速度）隨時間的旋轉，與該場向量的空間渦旋沒有任何關係。因此，哪怕在只能傳播純縱波的流體中（其位移場旋度為零），比如空氣聲波，也是可以攜帶自旋角動量的[3, 4]。至此，我們終於可以說，“聲波無旋”是得不出“聲波沒有自旋角動量”的。
3彈性波為何“特立獨行”：雜化自旋的貢獻
透過前文的討論，我們已經大概瞭解了彈性波的自旋角動量是什麼，也回答了無旋場可以有自旋角動量的問題，下一步就該思考彈性波的自旋有什麼有趣的特性了。
上式標紅的部分，便是純橫波和純縱波中都不會出現的橫-縱交叉項。我們可以將其稱為彈性波自旋角動量中的“雜化”貢獻。“雜化”自旋的存在會導致彈性波自旋包含更豐富的結構。比如，在表面波系統中，彈性波的自旋分佈就顯得“特立獨行”[5]。
圖7 a-d分別對應著表面水波、表面電磁波、表面空氣聲波和瑞利波。顏色圖的藍色表示自旋角動量密度方向垂直紙面向內（負），紅色代表方向垂直紙面向外（正）；黑色箭頭代表向量場的大小和方向，其對應的橢圓極化方向在右側畫出。顯然，最右側的彈性波表面波與前三個系統在自旋分佈上有顯著差異。
圖7中展現的幾種表面波，它們的向量場在數學上是極其相似的[5]，振幅都會隨著深度的增加指數衰減。前三者雖然場的旋度、散度（作為空間域上的幾何性質）不盡相同，但是其自旋密度（作為時間域上的旋轉性質）是類似的，都是垂直紙面向內並且大小隨著深度的增加逐漸減小。彈性表面波（即瑞利波）卻與眾不同，不僅在彈性介質表面的自旋方向是垂直紙面向外，並且隨著深度的增加自旋方向還會翻轉。這其實就是由於“雜化”自旋的存在，導致彈性波與其他系統不同。
如今，彈性波的經典理論已經廣泛應用於各個領域。從地震研究、地質勘探、無損探傷、聲表面波濾波器等工程應用，到以彈性超材料、光-彈、磁-彈耦合體系為平臺的前沿探索，都需要彈性波的調控。結合成熟的彈性波相關理論，從“彈性自旋”這一新視角出發，可以給實際應用提供一些新思路。由“雜化”帶來的特性也能夠啟發一些彈性波特有的調控手段。
例如，在超聲檢測中，導波模式的激勵和識別很關鍵。不同的導波模式對缺陷的響應特徵不同，選擇性激勵純淨的導波模式十分重要。這裡我們以一類基礎的彈性波導波——蘭姆波為例，比較一下蘭姆波和其他系統中類似的導波，看看他們的自旋分佈有什麼區別。
在二維平面的波導中，根據波導上下兩個邊界上振動模式的對稱性，導波可分為兩種：對稱模式（symmetric mode）和反對稱模式（anti symmetric mode）。
圖8 電磁波的對稱模式和反對稱模式。黑色箭頭表示電場。此處對稱和反對稱模式上下表面自旋密度的方向相同。
圖9 空氣聲波的對稱模式和反對稱模式。黑色箭頭表示速度場。此處對稱和反對稱模式上下表面自旋密度的方向相同。
圖10 彈性板波（蘭姆波）的對稱模式和反對稱模式。黑色箭頭表示位移場。可以看出，與電磁波和空氣聲波的導波模式不同，蘭姆波的對稱和反對稱模式上下表面自旋密度的方向相反。
從圖8-10中我們可以看到，只有彈性波的對稱/反對稱模式（S/A模式）呈現出了相反的自旋角動量分佈。透過計算（圖11）可以看出，這種S模式和A模式之間的差別正是由“雜化”部分的貢獻決定的。
圖11 彈性板波（蘭姆波）的A0模式和S0模式中，雜化貢獻(Sh)相反，導致總自旋相反。
一般來說，想要控制波在兩個邊界上的對稱性，需要在每個邊界上都安裝一個激勵源，即至少兩個不同位置的激勵源。但是蘭姆波的A0和S0模式彈性自旋的分佈是相反的。這意味著我們只需要在一個邊界上安裝一個圓極化偏振的源（手性源），就可以控制該邊界附近的彈性自旋方向，進而分別激勵對稱、反對稱模式。
圖12 在單一邊界上利用自旋源反向激勵A/S模式。一組相互垂直的壓電片可以控制其附近的偏振模式，激勵特性的彈性自旋訊號。
圖12中給出了手性源的一種實現方式：用一組相互垂直的壓電片，分別控制兩個垂直方向的振動相位差，這樣就可以自由控制手性源激勵的振動的自旋方向了。如果按照圖12中，在薄板下邊界自旋源激勵自旋為正的模式，那麼我們在源的左側（x<0）就可以觀測到A0模式，在源的右側（x>0）觀測到S0模式。
實驗測量中，可以透過掃場並對資料進行二維傅立葉變換得到頻域訊號。透過對比測量結果和理論上A0/S0的色散，就可以區分出測量到的是哪一個模式了（圖13）。
圖13：實驗測量結果，訊號由S>0的手性源激勵。在源左側(x<0)，彈性波的訊號在A0模式的色散曲線上，表明該訊號為A0模式；源右側(x>0)的訊號為S0模式。這表明實驗測量結果與圖12中的預期相符。
4總 結
總的來說，從經典波的視角出發，彈性波是可以攜帶自旋角動量的。我們可以透過位移場，利用諾特定理來嚴格定義彈性波的自旋角動量的形式。特別地，自旋角動量的存在並不依賴於位移場是否有旋度，且彈性波位移場同時包含旋度/散度為零的成分使其擁有更為豐富的自旋角動量結構。“自旋”這個新的視角可以與彈性波經典、成熟的理論相結合，為彈性波的研究提供新思路。
此外，上文中的討論中並未過多涉及彈性波的量子化版本——“聲子”。聲子作為彈性波場的元激發，透過量子化過程，被視為一種與晶格振動相對應的準粒子。在倒空間中，聲子的內在特性與實空間中彈性波的整體特性緊密相關，類似於電磁波-光子之間的關係。因此，聲子自旋與彈性波自旋一體兩面，聯絡緊密[2]。考慮到角動量守恆這一基本規律，彈性波自旋和聲子自旋還可以與光子自旋、電子自旋等相互轉化。在涉及到電-聲耦合、光-機械耦合、磁性-彈性耦合和壓電耦合等過程時，引入彈性波自旋和聲子自旋，能幫助我們更好地探索自旋相關的感測和控制技術。
角動量相關的研究，是基礎研究和科技發展不可或缺的一環，希望隨著我們對彈性波角動量理解的深入，會有越來越多的有趣、新穎且實用的內容被挖掘。
參考文獻
[1] 物理 51, 855 (2022)
http://www.wuli.ac.cn/article/doi/10.7693/wl20221205
[2] Chinese Physics Letters 39, 126301 (2022)
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0256-307X/39/12/126301
[3] Proc. Natl. Acad. Sci. 115, 9951 (2018)
https://www.pnas.org/doi/abs/10.1073/pnas.1808534115
[4] National Science Review 6, 707(2019)
https://academic.oup.com/nsr/article/6/4/707/5488454
[5] Phys. Rev. Lett. 131, 136102 (2023)
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.131.136102
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