|作 者：曹則賢
(中國科學院物理研究所)
本文選自《物理》2024年第11期
…scheint es mir eine der wichtigsten Seiten der Quantenmechanik, daß sie auf der Korpuskularvorstellung der Materie basiert ist…
…我覺得，量子力學之最重要的一面是，它是基於粒子影象的…
——海森堡，1926
摘要海森堡是量子論和量子力學發展史上的關鍵人物之一。海森堡引入了半量子數，提出了研究原子問題關注可觀測量的思路，給出了引出矩陣力學的求和規則，基於波動力學處理多體問題提出了交換能的概念進而建立了鐵磁模型，提出了不確定性原理，其關於原子核構造的理論引出了後來的同位旋量子數。海森堡無疑地是第一流的物理學家，有著非同尋常的物理直覺。圍繞他的一些不解之謎是量子力學史的持久話題。
關鍵詞反常塞曼效應，半量子數，色散關係，可觀測量，矩陣力學，多體問題，交換作用能，鐵磁性，不確定性原理，海森堡表示，原子核構造
1海森堡小傳
海森堡(Werner Heisenberg，1901—1976)出生於德國的維爾茨堡，九歲時其父到慕尼黑大學任希臘研究教授，海森堡隨父到了慕尼黑並在那裡長大和接受教育(圖1)。海森堡年輕時參加過一個名為Neupfadfinder(新尋路者)的精英組織。據信“尋路(pathfinding)”在其他方面也很重要，比如他們也試圖重新發現科學(discover science anew)。海森堡把興趣集中在遠離應用的那些科學領域，可能是因為他的同志們把物理學烙上了“mechanic materialism”的印記。Mechanic materialism這個被我們誤譯為機械唯物主義的概念對於理解20世界的物理學具有重要的意義，它是一種認識到物質之下有執行原理的哲學，此乃mechanics之真義。1920年10月海森堡想進慕尼黑大學數學系，投奔證明了π是超越數的林德曼(Ferdinand von Lindemann，1852—1939)，被拒後轉投物理系的索末菲(Arnold Sommerfeld，1868—1951)教授。似乎索末菲也對接收海森堡不是很熱心，英文文獻謂索末菲曾說過“It maybe that you know something；it maybe that you know nothing. We shall see.” 筆者特別宣告，筆者沒找到這話的原文出處。索末菲是量子論的關鍵人物，其於1916年量子化了電子軌道的取向(所謂的空間量子化)。海森堡跟著索末菲這樣的導師，在我們稱為“大二”的那一年其科學人生就開掛了。1921年，海森堡研究反常塞曼效應，引入了半量子數；1922年，海森堡和索末菲合作發表了兩篇關於X-射線譜理論以及反常塞曼效應的論文。按照德國的教育制度，海森堡1923年為了完成大學學業去了哥廷恩大學跟著玻恩研究原子物理，給玻恩留下了深刻印象。那時候，玻恩開始了一個關於原子理論研究的雄心勃勃的計劃，即探究天體力學中的擾動方法，試圖透過與經典力學的類比來處理原子裡的多體問題。這導致了玻恩與海森堡在氦原子理論上的合作。在玻恩那裡，海森堡又結識了玻爾(Niels Bohr，1885—1962)，從此開啟了他們之間長達四十年的交往。海森堡1923年完成大學學業，獲得博士學位，學位論文題目為Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmen (論流體的穩定性與湍流)。不幸的是，在論文答辯後的考試環節海森堡表現不佳，維恩(Wilhelm Wien，1864—1928)教授堅持不予透過，最後還是在索末菲教授的懇求下給了個及格的評價(cum laude)。1924年，海森堡在玻恩手下通過了Habilitation，獲得私俸講師資格，直到1927年海森堡都是哥廷恩大學的講師。1924年9月到1925年5月間，海森堡曾到哥本哈根玻爾處訪問。在1926年的一段時間裡，海森堡接替克拉默斯(Hans Kramers)做過玻爾的助手。
圖1 海森堡(1901—1976)
海森堡在量子論進化為量子力學的過程中做出了關鍵的貢獻。1923—1924年玻恩講授原子力學進而提出量子力學概念的那段時間裡，海森堡是玻恩的助手之一。1924年9月，海森堡到了玻爾那裡，研究輻射的量子理論。那個時期，Niels Bohr，Hans Kramers，John Slater三人提出了一個半經典理論，即所謂的BKS理論。在這段時間裡，海森堡與克拉默斯之間的討論對海森堡後來的成就幫助很大，極具量子力學史意義。1925年5月海森堡從哥本哈根回到哥廷恩，此時海森堡關於原子問題的觀念發生了轉變(參見海森堡1925年7月9日的信)，即他將關注的物件集中到了可觀測量上{筆者覺得這就是從力學問題轉到光譜學上。電子的軌道？根本沒有那回子事兒}。海森堡不再和那個電子的三維軌道(索末菲的原子模型)纏鬥，而是改為處理一維非諧振子的發射問題，結果是將量子數同可觀測的輻射頻率與強度拉上了關係，關於強度的計算無意中帶出了矩陣乘法。玻恩看出來海森堡的這個工作的重要意義，接下來玻恩和約當發展出了矩陣力學{注意，至少到1927年量子力學指的就是矩陣力學}，給出了那個著名的共軛變數之間的非對易關係(略去了e2πiνnm/h 項的矩陣形式，且矩陣指標必須從0開始)！
海森堡1927年10月成了萊比錫大學的教授，同時期那裡還有索末菲門下的他的師兄弟德拜(Peter Debye)與洪特(Friedrich Hund)。接下來的幾年裡，海森堡發展了鐵磁模型，對原子核構造的理解為後來的粒子物理提供了一些概念基礎。
2塞曼效應
不談論(反常)塞曼效應，是理解不了量子力學的構建過程的。索末菲及其門下的朗德(Alfred Landé，1888—1976)、泡利、海森堡等人對理解塞曼效應做出了持續不懈的努力。現代文獻中關於塞曼效應的表述，是基於量子力學所獲得的原子物理表述與記號之上的(表述時有概念跳躍)，它掩蓋了理解塞曼效應的艱難過程以及它在構建量子論、量子力學和原子物理過程中所扮演的角色。原子物理課本講不清塞曼效應，情有可原。
圖2 鈉雙黃線及其在弱磁場下的分裂，為經常提到的反常塞曼效應案例
1896年，荷蘭萊頓大學的塞曼(Pieter Zeeman，1865—1943)發現元素鎘(Cadmium)的光譜線在磁場下的明顯劈裂，一個單根的譜線會分裂成三根(triplet)，這個現象被命名為塞曼效應。該現象馬上就被洛倫茲用他的電子理論解釋了{注意，1897年才算正式發現電子}。在1897—1900期間，普萊斯通(Thomas Preston，1860—1900)研究了強場下的輻射現象，發現了比塞曼的觀察結果複雜得多的譜線劈裂行為[Thomas Preston, Radiation phenomena in a strong magnetic field，The Scientific Transactions of the Royal Dublin Society，2nd series 6, 385—391(1898)]，被稱為反常塞曼效應。用海森堡的話說，反常塞曼效應的分裂影象表現出了高度的規則性與規律性(große Regelmäßigkeit und Gesetzmäßigkeit der Aufspaltungsbilder im anomalen Zeemaneffekt)，因此反常塞曼效應接下來得到了極大的關注(圖2)。反常塞曼效應的解釋要等待自旋概念的提出(其發生在電子的總自旋非零的躍遷上)，要用到相對論和量子力學。應該反過來說，(反常)塞曼效應的研究在電子的發現、電子自旋的發現以及量子力學的建立過程扮演了非常關鍵的角色。
其實，大自然沒有任何反常現象或反常效應，它不過是反映我們一時理解不了的現實而已。在電子自旋被發現、量子力學被髮展起來以後，塞曼效應就沒有必要非要分什麼正常和反常塞曼效應了。原子輻射受磁場的影響，當然取決於原子自身的性質以及磁場的強度。當磁場較弱時，電子能級發生小的劈裂，表現為譜線的劈裂；而當磁場足夠強時，電子的能級被極大地擾動，譜線會被重排，這歸於Paschen—Back效應。
3海森堡的量子論有關的論文
海森堡對量子論的建立以及量子力學的發展做出了許多標誌性的貢獻。筆者一直堅持一個觀點，對一個科學家之成就的認識(我不敢說是評價)應該建立在他自己留下的白紙黑字上。據不完全統計，海森堡與量子論、量子力學有關的論文羅列如下：
(1) Werner Heisenberg, Zur Quantentheorie der Linienstruktur und der anomalen Zeemaneffekte (譜線結構的量子理論與反常塞曼效應), Zeitschrift für Physik8, 273—297 (1922).
(2) Arnold Sommerfeld, Werner Heisenberg, Bemerkungen über relativische Röntgendubletts und Linienschärfe (關於相對論性倫琴雙線以及譜線明銳度的說明), Zeitschrift für Physik10, 393—398(1922).
(3) Arnold Sommerfeld, Werner Heisenberg, Die Intensität der Mehrfachlinien und ihre Zeeman Komponenten (多重譜線的強度與譜線的塞曼分量), Zeitschrift für Physik11, 131—154 (1922).
(4) Max Born, Werner Heisenberg, Die Elektronenbahnen im angeregten Heliumatom (激發態氦原子中的電子軌道), Zeitschrift für Physik16, 229—243 (1923).
(5) Max Born, Werner Heisenberg, Über Phasenbeziehungen bei den Bohrschen Modellen von Atomen und Molekeln, Zeitschrift für Physik14, 44—55 (1923). 收稿日期 1923年1月16日。
(6) Max Born, Werner Heisenberg, Über den Einfluß der Deformierbarkeit der Ionen auf optische und chemische Konstanten I (離子形變對光學與化學常數的影響 I), Zeitschrift für Physik23, 388—
410 (1924).
(7) Werner Heisenberg, Über den Einfluß der Deformierbarkeit der Ionen auf optische und chemische Konstanten II (離子形變對光學與化學常數的影響II)，Zeitschrift für Physik26, 196—204 (1924).
(8) A. Landé, Werner Heisenberg, Termstruktur der Multipletts höherer Stufe (高階多重線的項結構), Zeitschrift für Physik25, 279—286 (1924).
(9) Max Born, Werner Heisenberg, Zur Quantentheorie der Molekeln (分子的量子論), Annalen der Physik379(9), 1—31 (1924). {有同名文章 M.
Born, R. Oppenheimer, Annalen der Physik389(20), 457—484 (1927).}
(10) Werner Heisenberg, Über eine Abänderung der formalen Regeln der Quantentheorie beim Problem der anomalen Zeeman-Effekte (量子論形式規則在反常塞曼效應問題上的改進), Zeitschrift für Physik26(1), 291—307(1924).
(11) Werner Heisenberg, Über eine Anwendung des Korrespondenzprinzips auf die Frage nach der Polarisation des Fluoreszenzlichtes (對應原理在熒光極化問題上的應用), Zeitschrift für Physik31, 617—626 (1925).
(12) H. A. Kramers, Werner Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome (原子對光的散射), Zeitschrift für Physik31, 681—708 (1925).
(13) Werner Heisenberg, Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmmen (論流的穩定性與湍流), Annalen der Physik379(15), 577—627(1924). {基於海森堡的學位論文}
(14) Werner Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (運動學的與力學的關係的量子理論再詮釋), Zeitschrift für Physik33, 879—893(1925). {1925年7月29日收稿}
(15) Max Born, Werner Heisenberg, and Pascual Jordan, Zur Quantenmechanik II (論量子力學II), Zeitschrift für Physik35, 557—615(1926). {1925年11月16日收稿}
(16) Werner Heisenberg, Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik (量子力學中的多體問題與共振), Zeitschrift für Physik38(6-7), 411—426 (1926). {收稿日期 1926年6月11日}
(17) Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem der anomalen Zeemaneffekte (量子力學在反常塞曼效應上的應用), Zeitschrift für Physik37, 263—277 (1926).
(18) Werner Heisenberg, Über die Spektra von Atomsystemen mit zwei Elektronen (兩電子原子系統的光譜), Zeitschrift für Physik39, 499—518 (1926).
(19)Werner Heisenberg, Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik II (量子力學中的多體問題與共振 II), Zeitschrift für Physik41, 239—267 (1927).
(20) Werner Heisenberg, Schwankungserscheinungen und Quantenmechanik (漲落現象與量子力學), Zeitschrift für Physik40(7), 501—506 (1927).
(21) Werner Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik (論量子論運動學與力學的直觀內容), Zeitschrift für Physik43(3-4), 172—198(1927).
(22) Werner Heisenberg, Zur Theorie des Ferromagnetismus (鐵磁性理論)，Zeitschrift für Physik49(9-10), 619—636 (1928).
(23) Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Zur Quantendynamik der Wellenfelder (波場的量子動力學), Zeitschrift für Physik56(1), 1—61(1929).
(24) Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Zur Quantendynamik der Wellenfelder II (波場的量子動力學II), Zeitschrift für Physik59(3-4), 168—190(1930).
(25) Werner Heisenberg, Zur Theorie der Magnetostriktion und der Magnetisierungs kurve (磁摩擦與磁化曲線的理論)，Zeitschrift für Physik69, 287—297 (1931).
(26) Werner Heisenberg, Zum Paulischen Ausschließungsprinzip (泡利不相容原理), Annalen der Physik402(7), 888—904 (1931).
(27) Werner Heisenberg, Über den Bau der Atomkerne I (原子核結構 I), Zeitschrift für Physik77(1-2), 1—11 (1932).
(28) Werner Heisenberg, Über den Bau der Atomkerne II (原子核結構 II), Zeitschrift für Physik78(3-42), 156—164 (1932).
(29) Werner Heisenberg, Über den Bau der Atomkerne III ( 原 子 核 結 構 III), Zeitschrift für Physik80(9-10), 587—596 (1933).
(30) Werner Heisenberg, Bemerkungen zur Diracschen Theorie des Positrons (關於狄拉克正電子理論的說明), Zeitschrift für Physik90(3-4), 209—231(1934).
(31) Werner Heisenberg, H. Euler, Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons (狄拉克正電子理論的幾個推論), Zeitschrift für Physik98(11-12), 714—732(1936).
關於海森堡的著述，一言難盡。作為幾乎被抬為量子力學創始人第一位的海森堡，沒有一本關於量子力學的書籍{玻恩、約當、狄拉克、泡利、朗德、薛定諤、馮·諾伊曼、外爾、維格納這些參與建立量子論、量子力學的人可不是這樣}。海森堡冠名的帶量子一詞的書，有1930年出版的The Physical Principles of the Quantum Theory (Dover 1930)，是Carl Eckart，F. C. Hoyt對海森堡1929年在芝加哥大學幾場講座的翻譯整理，一本散文集Philosophical problems of quantum physics，Woodbridge(1952)，以及一本由Jürgen Busche整理的Quantentheorie und Philosophie: Vorlesungen und Aufsätze (量子論與哲學：講座與文章)，Reclam(1979)。海森堡比較著名的著述有德語版的Der Teil und das Ganze: Gespräche im Umkreis der Atomphysik (部分與整體：在原子物理圈的講話)，DTV(1973)，是研究海森堡文筆與哲學思想的重要文獻，已多次再版。此外，還有一些標著作者是海森堡其實是他人編纂的、題目裡有“哲學”的著述(圖3)，感覺是給他們讀不懂的海森堡論文糊了一件哲學的外衣拿去糊弄人。有鑑於此，筆者以為Helmut Rechenberg(1937—2016)，海森堡最後的一個研究生，所編纂的海森堡全集題為The Historical Development of Quantum Theory，是非常得體的。
如果能靜下心來粗略瀏覽一遍海森堡的論文，或許能夠對海森堡對量子論、量子力學的建立之貢獻有個不至於太偏頗的認識。
圖3 1979年出版的Philosophical Problems of Quantum Physics. 封面上的公式∆p∆q=h/2Π 真讓人無語
矩陣力學的由來確實源自海森堡的工作，但是矩陣力學是玻恩和約當構造的[M. Bornand P. Jordan，Zur Quantenmechanik(論量子力學)，Zeitschrift für Physik,34, 858—888(1925)]。海森堡不知矩陣代數。就矩陣力學而言，其力學部分來自玻恩的思想，他此前即想把天體力學用於研究原子的實踐，構造了原子力學(Atomphysik)，並認識到了構建量子力學的必要性，為此於1924年造了Quantenmechanik一詞。所幸的是，玻恩此前因研究相對論也學了矩陣，而玻恩和約當構造矩陣力學之矩陣代數方面的工作都是約當做的。再強調一遍，約當是在希爾伯特和庫朗身邊學的數學，一定程度上參與了《數學物理方程I》問世的過程。當時，有能力擔當構造矩陣力學這一重任的年輕人，只有約當、泡利和狄拉克，馮·諾伊曼都算是來晚了的。
4出道即成名——半量子數
1922年，海森堡發表了他人生的第一篇論文Zur Quantentheorie der Linienstruktur und der anomalen Zeemaneffekte (譜線結構的量子理論與反常塞曼效應)(圖4)，論文的收稿日期為1921年12月17日。海森堡出生於1901年12月5日，也就是說投稿時可能恰好20歲。用出手不凡形容海森堡的第一篇學術文章，貼切。有研究者認為這篇文章第一次在量子論中引入了半量子數，打破了從前的量子數是整數的認知。筆者以為譜線系公式中引入1/2是自旋問題的緣起，是量子理論的一個里程碑。不過，問題可以描述得更確切些。如海森堡自己在文章中所指出那樣，是朗德1921年的文章線上系公式中引入了1/2(圖5)，參見Alfred Landé, Über den anomalen Zeemaneffekt I (論反常塞曼效應I)，Zeitschrift für Physik5(4),231—241(1921)；Über den anomalen Zeemaneffekt II (論反常塞曼效應II)，Zeitschrift für Physik7, 398—405(1921)。海森堡關於半量子數給了一個非常大膽的假設。
圖4 海森堡人生第一篇論文首頁截圖
針對光譜中出現雙線的原子，海森堡將原子分為原子核加上強烈耦合在一起的電子所組成的原子實(Atomrumpf)與一個外部電子，即價電子(Valenzelektron)。光譜記號1s 對應的態，原子具有的總角動量為1 (單位為 。這裡用的是作用量 —角變量表示)。原子實與價電子互相交換角動 量，可以假設平均來說兩者的角動量應為1/2 (der mittlere Impuls des äußeren Elektrons wie der des Rumpfes 1/2 sei)。這意思是說，外部電子就角 動量而言可類比一個(相對論的)氫原子，它是量 子化的，量子數為 1/2 (Das äußeren Elektron ist hinsichtlich seines Impulses analog gequantelt, wie ein (relativistisches) Wasserstoffatom, jedoch mit der Quantenzahl 1/2)。
圖5 朗德1921年的論文I。空間量子化量子數m被允許取有理分數
接下來，海森堡要確立外電子的穩態軌道。第一量子條件是 ，其中m是線上系中出現的總量子數(Gesamtquantenzahl，它確定線系的極限)；第二量子條件是 ，其中p是角動量，與方位角β是一對共軛量，n*是角動量量子數，與線系之分櫱(記為s, p, d…)有關。結論是對於基軌道(1s)，以及每一個(ms)，由 可得量子數 。假設原子實的角動量在激發態也不變。若線上系公式中出現的量子數m總是一個整數，那徑向量子數(radiale Quantenzahle)就只能是 ，則量子數m 的最小值總是 。可見，量子數m的最小值就是常規的方向角量子數n，則有 。這樣，可得如下原子的模型：原子實的角動量為，外部電子的角動量為。這兩個角動量是如何相對取向的呢？再利用索末菲的空間量子化要求，得到對於雙線情形的原子模型，這兩個角動量要麼同向，要麼完全反向，即總角動量為 和 。海森堡由此得到一個關於雙線結構之本質的假說，進而用於解釋反常塞曼效應：m*→m*躍遷對應譜線的π-部分，m*→m*+1躍遷對應譜線的σ-部分(Daß der Übergang m*→m* π-Komponenten , der Übergang m*→m*+1 σ-Komponenten erzeugt)。
該文也討論了三重譜線的情形，略。
海森堡 的這個工作給他的導師索末菲以極大的震撼。1922年夏，索末菲寫信給他較年長的學生愛潑斯坦(PaulEpstein，1883—1966)的信中寫道：“ I expect enormous achievements by Heisen berg, who I think is the most gifted one among all my pupils, including Debye and Pauli ”。嗯，是同德拜和泡 利並列的最有天分的學生，這得算是高度讚揚了。海森堡的原子(角動量)模型，因為牽扯到半量子數，確實不易被接受。如索末菲所言：“他的塞曼模型遭遇普遍反對，特別是玻爾……但是我發現它的巨大成功，因此我收回在其發表問題上的保守態度( His Zeeman model generally meets with opposition, particularly with Bohr…… But I find its success so enormous that I held back all my reservations with its publication )”。這段原文筆者沒找到。
5譜學研究催生量子力學
到1924年底，23歲的海森堡三年大學畢業，獲得了博士學位，同論文導師索末菲合作發表了論文2篇，同導師玻恩合作發表了論文4篇，同索末菲門下師兄朗德合作發表了文章1篇，另單獨署名文章3篇，這就基本確立了他一流物理學家的地位{讀者請就這幾句內容瞭解一下當年德國的教育制度與水平}。
在那篇歷史性的、與矩陣力學的誕生有關的1925年論文出現之前，海森堡1924年的“量子論形式規則在反常塞曼效應問題上的改進”一文，與朗德合作的“高階多重線的項結構”一文，以及1925年同玻爾門下的克拉默斯合作的“原子對光的散射”一文(文章是1924年1月5日自哥本哈根發出的，其中有著名的Kramers—Heisenberg色散公式)是理解海森堡的工作如何導向矩陣力學的關鍵。克拉默斯本人的文章，Hendrik Anthony Kramers, The Law of Dispersion and Bohr’s Theory of Spectra，Nature118，673—674(1924)，對理解色散關係等相關問題也至關重要。
先岔開個話題。雜誌Zeitschrift für Physik在1924年就只在12月出版了一期，即26卷1期。這期雜誌是人類學術創造濃度的頂峰，與之可相比擬的，大概只有1918年的哥廷恩大學的學報。在Zeitschrift für Physik26(1)上，不僅有玻恩創立“量子力學”一詞的文章，海森堡的兩篇文章，還有玻色的、實為愛因斯坦翻譯成德語的Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese(普朗克分佈律與光量子假說)一文(此文帶出玻色統計)，W. Bother & H. Geiger關於BKS理論的文章，費米論量子態機率的文章，W. Bothe關於光電效應的兩篇文章，W. Schottky & von Issendorff關於熱發射問題的文章，W. Gerlach & A. C. Cilliers關於原子磁矩的文章，J. Frenkel關於光吸收的文章，W. Gerlach關於法拉第效應的文章，Otto Hahn & Lise Meitner關於鐳放射β射線的文章，Lise Meitner關於原子裂變放射γ射線的文章，E. Grüneisen & E. Goens的金屬晶體研究，等等，都是影響了後續科學發展的工作，Otto Hahn & Lise Meitner的工作甚至改變了人類社會的程序。海森堡的論離子形變的文章是對此前與玻恩合作的同名文章的延續，而“量子論形式規則在反常塞曼效應問題上的改動”一文應被看作量子力學發展史上至關重要的一篇。
海森堡的“量子論形式規則在反常塞曼效應問題上的改進”一文，愚以為可看作是對玻恩構建“量子力學”計劃的第一響應，文中提到Quantenmechanik名詞形式4次，形容詞形式兩次。玻恩的文章和海森堡的文章的雜誌收稿日期相同，為1924年6月13日。文章的投稿時間應該也不會有什麼差別，因為玻恩本人是主編而海森堡是他的助手。文章構思期間，海森堡在玻恩門下學習，考慮到玻恩此前講授Atommechanik(原子力學)並出版了專著來看，Quantenmechanik一詞為玻恩提出應屬無疑。從海森堡的文章也用到了Quantenmechanik一詞來看，玻恩就他預期應該有的Quantenmechanik這門學問而言，和海森堡是有討論的。筆者未見科學史家注意到海森堡在同一期雜誌上的文章即使用了Quantenmechanik一詞這個事實(圖6)。
圖6 雜誌 Zeitschrift für Physik26(1), (1924)上玻恩提出量子力學論文的截圖(上)以及海森堡關於量子規則的改進與反常塞曼效應論文的截圖(中)。海森堡的論文裡也提及了“量子力學”一詞(下)
海森堡的“量子規則的改進…”一文的關鍵，在於指出外電子與原子實之間的耦合能量的一個值聯絡著兩個量子數(ein Wert der Kopplungsenergie mit zwei Quantenzahlen verknüpft ist)。基於對相鄰原子的譜線結構的考察(參考朗德的理論)，即一個原子的總角動量J會出現在下一個原子之原子實角動量的值中，其光譜中會出現原子實角動量為J+1/2，J-1/2的兩個多重譜線系。因此，可以想到耦合能可以歸結於(J+1/2, J-1/2)二者而非單單是J。海森堡說，這個規則與反常塞曼效應相吻合，或許能給出如何尋找為多電子體系改進至今的力學繼而一併構造出量子力學的方向( vielleieht die Richtung angeben, inwelcher allgemein die Abänderung der bisherigen Mechanik und die Schaffung einer Quantenmechanik der Systeme mit mehreren Elektronen zu suchen ist )。海森堡僅憑這句話就可以奠定他在量子力學史上的地位。
基於對氖光譜結構的分析匯出了高階多重態的結構。文中出現了impulslos abgeschlossene Schale(無角動量閉合殼層)的說法，並說到原子實中也有量子躍遷的可能，因此關於原子的構造原理不能太當真(das Aufbauprinzip nicht allzu eng auffassen)。因為對氖光譜資料筆者沒有任何感覺，故對這篇文章就不仔細解讀了。不過，筆者想說，這篇文章是在分析帕邢的大量氖光譜資料基礎上完成的。大家、天才都是幹苦力的好把式——以為天才只需等著靈光一現就能功成名就的雞賊想法可以休矣。
圖7 Kramers—Heisenberg 1924年文章701頁上的截圖，此即所謂的Kramers—Heisenberg公式
海森堡1924年1月與克拉默斯合作的“原子對光的散射”一文主要源於克拉默斯(此人因提出Kramers—Kronig關係以及量子場論的重整化概念而聞名)，這篇發自哥本哈根的文章拖延了13個月才發表，非常反常。這篇文章裡得到了著名的Kramers—Heisenberg色散關係(圖7)，其在有了波動力學以後的形式由狄拉克給出[見P. A. M. Dirac, The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation, Proc. R. Soc. Lond. A.114(769), 243—265(1927); The Quantum Theory of Dispersion, Proc. R. Soc. Lond. A.114(769), 710—728(1927)]。克拉默斯、海森堡他們指出，頻率為ν的光場下原子不僅以球波(Kugelwelle)形式輻射同頻率的相干光，還以頻率|ν±ν*|輻射非相干的球波，而hν*與所考察的原子的能量差有關。這篇文章重要的一點是用到了愛因斯坦的負吸收(negative Absorption)，即受激輻射的概念。Kramers—Heisenberg色散關係為
讀者注意到其中出現的νe+ν，νe-ν，νa-ν，νa+ν表達即可，νa，νe是某狀態P的吸收線與發射線的頻率。
海森堡在這個工作基礎上接下來往前又跨了一步，得到了玻恩與約當構造矩陣力學的出發點，即量子乘積規則。海森堡的“運動學的與力學的關係的量子理論再詮釋”一文(篇幅為15頁)在本系列關於矩陣力學一篇中已有敘述。這篇文章常常被當作矩陣力學的第一篇，筆者以為這對玻恩和約當非常不公平。實際上，海森堡那時不知道矩陣的概念，從白紙黑字的論文來看，矩陣力學是玻恩與約當構造的，狄拉克和泡利接著發展起來的。不把海森堡的“運動學的與力學的關係的量子理論再詮釋”一文當作矩陣力學第一篇，絲毫不影響海森堡作為一個偉大物理學家的地位。基於一個人自身的工作給予其客觀評價，那才是尊重。海森堡的“運動學的與力學的關係的量子理論再詮釋”一文因其歷史重要性，建議讀者自行認真研讀。網上有英文版On the quantum reinterpretation of kinematical and mechanical relationships，讀者請留心其中的翻譯錯誤。另，Wikipedia的“Umdeutung paper”條目是對這篇文章的英文解讀。
致 謝感謝國家自然科學基金委交叉科學部(批准號：T2241004)對“量子力學誕生百年紀念”系列前期準備工作的資助。
(未完待續)
紀念量子力學誕生一百週年
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