美國應用數學家、石溪大學教授Allen Tannenbaum於2023年12月28日去世，他在自動控制、計算機視覺和醫學影象領域做出了傑出貢獻。本文是其同事顧險峰教授所作紀念文章，主要介紹他基於最優傳輸理論的影象註冊方法。
撰文 | 顧險峰
2023年12月28日，筆者的同事Allen Tannenbaum博士因病醫治無效，在紐約長島逝世，享年70歲。Allen患有，在Covid之後，身體狀況一直不穩定，近期急劇惡化。他在自動控制、計算機視覺和醫學影象領域都做出了傑出貢獻，尤其在醫學影象領域，堪稱是泰斗級的科學家。
Allen於1976年在哈佛大學獲得數學博士學位，師從菲爾茲獎得主廣中平佑（ Heisuke Hironaka ），研究領域為代數幾何。畢業後，他一直在應用數學領域從事研究工作。Allen早期的工作主要是基於複分析中的Nevanlinna-Pick復插值理論來研究自動控制問題，他的主要突破是用橢圓曲線技巧證明了定義在多項式環上的系統中極點配置問題。後來，Allen應用偏微分方程理論來研究計算機視覺和醫學影象問題，比較著名的工作包括他和Guillermo Sapiro發明的基於仿射不變熱方程理論的影象增強演算法；他和Steven Haker與Sigurd Angenent共同發明的基於最優傳輸的影象配准算法，等等。
筆者非常熟悉Allen的工作，曾經為Allen寫過推薦信，幫助他轉到石溪並且申請石溪計算機科學、應用數學和統計的傑出教授職位。筆者常常參加Allen的Seminar，與Allen深入探討交流，也經常在自己的課上講解Allen發明的各種演算法。Allen的學術生涯非常成功，但是個人生活卻並不順利。Allen的兒子Emmanuel Tannenbaum患有腦瘤，Allen一直努力尋找各種方法來治療，最終還是無法避免白髮人送黑髮人的悲劇。因此，筆者一直認為Allen為醫學影象領域的研究傾盡了心血絕非為了名利，而是真正為了挽救生命。這裡，筆者回顧一下Allen發明的基於最優傳輸理論的影象註冊方法。
影象註冊與最優傳輸
影象註冊是醫學影象領域中非常基本的問題之一，給定兩張二維或者三維的
Brenier極分解定理
蒙日-安培方程強烈非線性，求解蒙日-安培方程是非常具有挑戰性的問題。在2001年，Allen, Haker和Angenent基於Brenier極分解定理，獨樹一幟地提
AHT演算法
圖3顯示了AHT演算法得到的大腦MRI影象註冊結果，我們可以看到這一演算法給出了微分同胚。圖4顯示了三維大腦MRI影象的註冊結果，這證實了AHT演算法可以直接向高維推廣。
圖4. 基於最優傳輸的3D影象註冊。
AHT演算法的侷限
Allen在2001年提出的求解最優傳輸問題的演算法非常具有創意，迄今為止也是基於極分解理論的唯一演算法，非常具有前瞻性。與傳統的連續性方法求解蒙日-安培方程，或者基於幾何變分法求解最優傳輸對映相比，AHT方法也是迭代法求解非線性蒙日安培方程，每一迭代步驟求解線性的橢圓型偏微分方程，這裡是泊松方程。這種方法用流體力學方法，透過構造流場來計算微分同胚。各種限制條件都可以加入到流場中，因此在醫學影象應用中非常靈活。
另一方面，目前AHT演算法的理論證明依然缺失。在二維情形，AHT演算法收斂於最優傳輸對映的理論證明已經完成；但是高維情形，這一演算法的收斂性依然未知。主要困難在於，演算法是收斂於全域性最優還是區域性最優，目前無法證
懷念
每次聚會，Allen都會講很多笑話，見解獨特，非常幽默風趣。但是私下裡，Allen喜歡將辦公室的門窗遮蔽起來，只留下一盞檯燈，在黑暗中長時間的靜默思考。每次Allen講解演算法或者理論，總能一針見血，言簡意賅地指出問題關鍵。他的思想深邃獨到，從不追波逐流，反而經常引領學術風潮。
Allen具有深厚的數學功底和敏銳深刻的洞察力，他能夠將應用領域的基本問題提煉出數學本質，找到相應的現代數學理論，並且為抽象的理論發明出高效實用的計算方法，從而真正解決實際問題。Allen所發明的各種演算法將會在工程和醫療領域中繼續被髮揚光大，造福人類。希望他的靈魂在天堂中得以安息。
本文轉載自微信公眾號“老顧談幾何”，原標題為《懷念Allen Tannenbaum博士》。
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