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什麼是卷積?

2025-02-02 17:23:43

撰文 | MICCO

想象一下,你正在享受一場精彩的魔術表演,魔術師用他的魔杖輕輕一揮,兩張看似普通的紙片突然融合在一起,變成了一張全新的、包含兩者圖案的紙片。這聽起來是不是很神奇?其實,這種現象在數學和工程領域中也有一個類似的版本,它就是卷積。卷積,聽起來可能有點高深莫測,但實際上,它就像那個魔術一樣,是一種將兩個事物結合起來,創造出新事物的過程。那麼,卷積到底是什麼?它又是如何在我們的日常生活中施展魔法的呢?

圖片來源:AI生成

卷積的定義

卷積可以看作是兩個函式或訊號在某種程度上的“重疊”運算。對於兩個函式f(t)和g(t),它們的卷積定義為:

其中,符號∗表示卷積運算,是一個“滑動”的時間變數,是卷積結果的時間或位置變數。我們可以想象在時間軸上滑動一個訊號,並計算兩個訊號在每個時間點上的相乘結果,然後將所有結果相加,最終得到輸出訊號。

為了更加通俗地理解這一過程,我們可以想象自己正在製作一杯混合飲料,比如奶昔。我們把草莓、香蕉和牛奶倒入攪拌機中,開啟開關,攪拌機的刀片開始旋轉,將這些成分混合在一起。這個過程就像是卷積,每個成分(草莓、香蕉、牛奶)則可以看作是一個函式,而攪拌的過程就是這些函式的“卷積”,最終產生了一個新的混合物——奶昔。

圖片來源:AI生成

在數字訊號處理和計算機影象處理中,離散形式的卷積更加常見。對於離散序列f[n] 和g[n],卷積的定義為:

在這種形式中,卷積透過對兩個離散序列的加權求和實現,表示訊號在不同位置上的疊加效果。

卷積的計算過程

理解卷積的定義之後,接下來我們討論卷積的計算過程。以離散卷積為例,假設有兩個有限長度的序列f[n] 和g[n],其長度分別為M 和 N。卷積的計算過程包括以下步驟:

01 翻轉一個函式

將一個函式進行翻轉,例如將g[n] 變為g[−n],這稱為函式的反向操作。你也許會疑惑:為什麼首先要進行翻轉呢?其實這源於卷積的定義和訊號處理的物理背景。在卷積中,翻轉實際上代表了一種時間反轉,它能夠確保正確地捕捉到訊號的歷史對當前時刻的影響,尤其是在處理時間序列時。具體來說,當你滑動一個訊號時,你需要檢視過去的輸入是如何影響當前的輸出,因此需要進行翻轉。

02 平移函式

將翻轉後的函式g[−n] 按值平移。這意味著我們需要逐個計算 g(t−n)在每個時刻與f(n)的重疊程度。

03 相乘並求和

在每個平移位置上,計算f[n] 和g(t−n)的乘積,然後求和。這一步的結果就是在位置的卷積值。

示例:計算卷積

假設有兩個序列f[n]={1,2,3}和g[n]={4,5,6},我們想計算它們的卷積f∗g。

1.翻轉序列g[n],即g[−n]={6,5,4}。

2.對g[−n]進行平移,並計算每次平移後的乘積與求和。

當t=0時,卷積的計算為:

(f∗g)[0]=1×6+2×5+3×4=6+10+12=28

依此類推,可以得到卷積結果。

卷積的應用

01 訊號處理

在訊號處理領域,卷積用於對訊號進行平滑、濾波和特徵提取。想象你在一個嘈雜的酒吧裡,音樂聲、人聲混雜在一起,你很難聽清楚你朋友在說什麼。訊號處理中的濾波就像給你一個降噪耳機,它可以過濾掉背景噪音,讓你只聽到你朋友的聲音。在數學上,這就是透過卷積實現的,把原始訊號(你聽到的所有聲音)和濾波器(降噪耳機的效果)進行卷積,得到清晰的訊號(你朋友的聲音)。

圖片來源:AI生成

02 影象處理

在影象處理中,卷積是影象濾波的核心操作。影象濾波器,例如邊緣檢測、模糊和銳化,都是透過卷積來實現的。想象你拿著一張模糊的照片,想要找出照片中的邊緣,比如建築物的輪廓。我們有一個邊緣檢測的卷積核,它就像是一個模板,我們用這個模板去“掃描”整張照片,找出邊緣。

邊緣檢測卷積核的效果丨圖片來源:[4]

03 (CNN)

卷積神經網路(CNN,Convolutional Neural Networks)是深度學習中最常用的模型之一,特別適用於影象和影片資料的處理。在CNN中,卷積層透過卷積核來提取影象的區域性特徵,從而在分類、目標檢測等任務中取得出色的表現。與傳統全連線層不同,卷積層大大減少了計算量和引數數量,使得CNN在大規模資料上的訓練更加高效。

CNN的原理示意圖丨圖片來源:[5]

參考文獻

[1]https://mp.weixin.qq.com/s/tj6rQum3AJyv1ys5I8wpVA

[2]https://mp.weixin.qq.com/s/holuN1O0M9RatwVqOHhxZQ

[3]https://mp.weixin.qq.com/s/s-QZDdQJvUHhKUEtZVAalA

[4]https://mp.weixin.qq.com/s/Kc0dB9W--5-g2lqOumHlnw

[5]https://mp.weixin.qq.com/s/-JIyMBK31zK4UwFBL_hZ5g

本文經授權轉載自微信公眾號“力學科普”。

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