撰文 | MICCO
想象一下，你正在享受一場精彩的魔術表演，魔術師用他的魔杖輕輕一揮，兩張看似普通的紙片突然融合在一起，變成了一張全新的、包含兩者圖案的紙片。這聽起來是不是很神奇？其實，這種現象在數學和工程領域中也有一個類似的版本，它就是卷積。卷積，聽起來可能有點高深莫測，但實際上，它就像那個魔術一樣，是一種將兩個事物結合起來，創造出新事物的過程。那麼，卷積到底是什麼？它又是如何在我們的日常生活中施展魔法的呢？
圖片來源：AI生成
卷積的定義
卷積可以看作是兩個函式或訊號在某種程度上的“重疊”運算。對於兩個函式f(t)和g(t)，它們的卷積定義為：
其中，符號∗表示卷積運算，是一個“滑動”的時間變數，是卷積結果的時間或位置變數。我們可以想象在時間軸上滑動一個訊號，並計算兩個訊號在每個時間點上的相乘結果，然後將所有結果相加，最終得到輸出訊號。
為了更加通俗地理解這一過程，我們可以想象自己正在製作一杯混合飲料，比如奶昔。我們把草莓、香蕉和牛奶倒入攪拌機中，開啟開關，攪拌機的刀片開始旋轉，將這些成分混合在一起。這個過程就像是卷積，每個成分（草莓、香蕉、牛奶）則可以看作是一個函式，而攪拌的過程就是這些函式的“卷積”，最終產生了一個新的混合物——奶昔。
圖片來源：AI生成
在數字訊號處理和計算機影象處理中，離散形式的卷積更加常見。對於離散序列f[n] 和g[n]，卷積的定義為：
在這種形式中，卷積透過對兩個離散序列的加權求和實現，表示訊號在不同位置上的疊加效果。
卷積的計算過程
理解卷積的定義之後，接下來我們討論卷積的計算過程。以離散卷積為例，假設有兩個有限長度的序列f[n] 和g[n]，其長度分別為M 和 N。卷積的計算過程包括以下步驟：
01 翻轉一個函式
將一個函式進行翻轉，例如將g[n] 變為g[−n]，這稱為函式的反向操作。你也許會疑惑：為什麼首先要進行翻轉呢？其實這源於卷積的定義和訊號處理的物理背景。在卷積中，翻轉實際上代表了一種時間反轉，它能夠確保正確地捕捉到訊號的歷史對當前時刻的影響，尤其是在處理時間序列時。具體來說，當你滑動一個訊號時，你需要檢視過去的輸入是如何影響當前的輸出，因此需要進行翻轉。
02 平移函式
將翻轉後的函式g[−n] 按值平移。這意味著我們需要逐個計算 g(t−n)在每個時刻與f(n)的重疊程度。
03 相乘並求和
在每個平移位置上，計算f[n] 和g(t−n)的乘積，然後求和。這一步的結果就是在位置的卷積值。
示例：計算卷積
假設有兩個序列f[n]={1,2,3}和g[n]={4,5,6}，我們想計算它們的卷積f∗g。
1.翻轉序列g[n]，即g[−n]={6,5,4}。
2.對g[−n]進行平移，並計算每次平移後的乘積與求和。
當t=0時，卷積的計算為：
(f∗g)[0]=1×6+2×5+3×4=6+10+12=28
依此類推，可以得到卷積結果。
卷積的應用
01 訊號處理
在訊號處理領域，卷積用於對訊號進行平滑、濾波和特徵提取。想象你在一個嘈雜的酒吧裡，音樂聲、人聲混雜在一起，你很難聽清楚你朋友在說什麼。訊號處理中的濾波就像給你一個降噪耳機，它可以過濾掉背景噪音，讓你只聽到你朋友的聲音。在數學上，這就是透過卷積實現的，把原始訊號（你聽到的所有聲音）和濾波器（降噪耳機的效果）進行卷積，得到清晰的訊號（你朋友的聲音）。
圖片來源：AI生成
02 影象處理
在影象處理中，卷積是影象濾波的核心操作。影象濾波器，例如邊緣檢測、模糊和銳化，都是透過卷積來實現的。想象你拿著一張模糊的照片，想要找出照片中的邊緣，比如建築物的輪廓。我們有一個邊緣檢測的卷積核，它就像是一個模板，我們用這個模板去“掃描”整張照片，找出邊緣。
邊緣檢測卷積核的效果丨圖片來源：[4]
03 （CNN）
卷積神經網路（CNN，Convolutional Neural Networks）是深度學習中最常用的模型之一，特別適用於影象和影片資料的處理。在CNN中，卷積層透過卷積核來提取影象的區域性特徵，從而在分類、目標檢測等任務中取得出色的表現。與傳統全連線層不同，卷積層大大減少了計算量和引數數量，使得CNN在大規模資料上的訓練更加高效。
CNN的原理示意圖丨圖片來源：[5]
參考文獻
[1]https://mp.weixin.qq.com/s/tj6rQum3AJyv1ys5I8wpVA
[2]https://mp.weixin.qq.com/s/holuN1O0M9RatwVqOHhxZQ
[3]https://mp.weixin.qq.com/s/s-QZDdQJvUHhKUEtZVAalA
[4]https://mp.weixin.qq.com/s/Kc0dB9W--5-g2lqOumHlnw
[5]https://mp.weixin.qq.com/s/-JIyMBK31zK4UwFBL_hZ5g
本文經授權轉載自微信公眾號“力學科普”。
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