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斯坦福華人博士生打破58年僵局!牛頓提出的親吻數問題有了新突破

2025-02-09 17:00:40

牛頓想出的“球體親吻數”(kissing number)難題,華人學者取得新進展。

n維空間中,給定一個n維球體,最多有幾個相同的球體可以與它接觸而不重疊?

斯坦福博士生Anqi Li在實習期間完成這項研究,導師Henry Cohn本意是讓她用計算機輔助,她卻創造性地找到了數學上的新解法。

這個問題在低維很直觀,比如二維空間的“親吻數”是6,如果在桌面上擺一枚硬幣,很快就能試出來周圍最多還能擺6枚硬幣。

在三維空間,“親吻數”是12。

到了更高維空間就無法直觀的視覺化,解決起來也更困難,但幾個世紀以來科學家一直在努力研究。

另外,這個問題還與通訊領域的編碼糾錯問題密切相關,曾被NASA用來設計旅行者號探測器的通訊編碼:

使用24位二進位制編碼,僅需一個燈泡的功率(約20瓦),就將彩色照片從太空傳回地球。

那麼,二進位制編碼與高維球體是怎麼聯絡起來的?

如果將每個通訊編碼看做高維空間中的一個點,這個點也可以被視為一個球體的球心。

此時球的半徑就代表了容錯的範圍,當傳輸過程中出現噪聲導致資訊失真時,接收到的資訊會偏離原始編碼。

但如果失真後的資訊仍落在某個編碼詞對應球體的範圍內,就可以識別出原本要傳輸的編碼,這就實現了通訊中的錯誤糾正。

至此,通訊編碼設計問題就轉換成了求解高維空間中球體堆砌問題,而親吻數問題正是研究區域性最優堆砌的重要工具。

反過來也成立,編碼設計的進步也能幫助數學家改進高維親吻數問題的結果。

球體親吻問題

時間倒回到1694年5月,當時在劍橋大學校園內,兩位頂尖科學家艾薩克·牛頓(Isaac Newton)和大衛·格雷戈裡(David Gregory)進行了一次關於恆星本質的著名討論。

這場討論最終誕生了經典的球體親吻數問題:

給定一箇中心球體,可以排列多少個相同的球體,使得它們互相接觸但不重疊?

對於三維空間,牛頓認為這個數是12,格雷戈裡認為是13。

直到1952年,數學家才證明牛頓是對的。不過觀察三維空間的最優解,就很容易理解格雷戈裡為什麼猜測還能多容納下一個球。

總的來說一個規律是,隨著維度增大,球與球之間的空隙也在增加,問題也就越困難。

但這個規律卻在24維的時候出現了例外。

1967年,數學家約翰·利奇 (John Leech) 構建了以他的名字命名的利奇格(Leech lattice)。

使用這種晶格可以“完美”地將球體密集地填充到24維空間中,且該空間中的最佳的親吻排列是每個球體接觸196560個相鄰球體。

但對於其他維度,尤其是幾何上不那麼對稱的維度,親吻數問題仍然難以解決。

長久以來,只能透過計算來估計高維空間親吻數的上界和下界。

Anqi Li在剛開始接觸這項工作時,導師Cohn對她的建議也是如此,像其他學生一樣,用計算機輔助手段取得一些進展就好了。

Anqi Li本科畢業於MIT,碩士畢業於劍橋大學,目前斯坦福博士在讀,除了Cohn外還接受過華人數學家趙宇飛等眾多名師指導。

當她開始嘗試“手動”方案的時候,Cohn還承諾她“即使沒有任何結果仍然可以得到A的成績。”

但不久以後,Cohn就發現她的進展“非常令人興奮”。

時隔58年的新突破

Anqi Li首先研究了16維空間,已知最好的排列方式來自另一種“Barnes-Wall格”,可以被視為利奇格的一個切片。

Barnes-Wall格有一個特點,其中最常見的點,座標中負號的個數總是偶數。

這有助於確保點與點之間的距離足夠遠,形成一個高度對稱的結構。

Anqi Li的突破點在於“如果使用奇數個負號會如何?”,這需要額外的小心不要導致球體重疊,而且據她所知,以前還沒人如此嘗試過。

Cohn起初對這個方法抱有懷疑態度,但在使用計算機驗證之後,發現球體的排列沒有問題。

那年夏天,Anqi Li跟隨Cohn去微軟研究院實習,兩人仔細改進了他們使用的編碼方案,終於讓17維空間的親吻數下界從5346提高到了5730,相當於在空隙中多塞了384個球。

接下來,他們將類似的技巧推廣到18維至21維,重新整理了這些維度的親吻數下界。

當然,他們的新紀錄離最終答案可能還有一定距離。以17維為例,目前的上界估計高達10978就被認為是嚴重高估,表明還有不小的最佳化空間。

不過這種獨闢蹊徑的思路,也為後續研究指明瞭新的方向。

正如這個領域的另一位專家Oleg Musin(證明了4維空間中的最佳親吻數)所評價的:他們提出了一種完全不同的構造方法。

雖然在24維已經有了利奇格這個“完美”解,但也給數學界帶來一個更深刻的問題:為什麼24維會存在如此優雅的解?

相鄰維度的研究進展,也有助於幫助數學家們理解自然界這種優雅背後的深層機制。

論文地址:https://www.arxiv.org/pdf/2411.04916

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