01
簡介
交易商在證券市場中的作用是透過報價他願意買賣特定數量資產的買入價和賣出價來提供交易所的流動性。傳統上，這一角色由做市商或專業公司擔任。近年來，隨著納斯達克Inet等電子交易所的發展，任何願意在系統中提交限價訂單的人都可以有效地扮演交易商的角色。事實上，限價訂單簿上高頻資料的可用性（參見 www.inetats.com）確保了公平的競爭環境，各個代理商可以按照他們選擇的價格釋出限價訂單。在本文中，我們研究了這種限價訂單簿中買賣訂單的最優提交策略。
微觀結構文獻中對經銷商的定價策略進行了廣泛的研究。交易商面臨的兩個最常提及的風險來源是（i）因資產價值不確定性而產生的庫存風險，以及（ii）知情交易者所產生的資訊不對稱風險。Biais 等人對其結果進行了有用的調查。(2004)、斯托爾 (2003) 和奧哈拉 (O’Hara) 的書 (1997)。在本文中，我們將重點關注庫存效應。事實上，我們的模型與 Ho 和 Stoll（1981）的一篇論文密切相關，該論文分析了單一股票的壟斷交易商的最優價格。在他們的模型中，作者指定了資產的“真實”價格，並圍繞該價格得出最佳出價和要價，以考慮庫存的影響。Ho 和 Macris (1984) 對 AMEX 期權的實證研究發現，這種庫存效應非常顯著。Ho 和 Stoll (1980) 在另一篇論文中分析了競爭下經銷商的問題，並表明出價和要價與代理商的保留（或無差異）價格相關。在我們的框架中，我們假設我們的代理商只是市場中的一名參與者，“真實”價格由市場中間價格給出。
對我們來說至關重要的是到達我們代理商的銷售訂單的到達率。為了對這些到達率進行建模，我們將利用經濟物理學的最新結果。該文獻的重要成就之一是解釋了限價訂單簿的統計特性（參見 Bouchaud et al. 2002、Luckock 2003、Potters and Bouchaud 2003、Smith et al. 2003）。這些研究的重點是透過引入“零智力”代理人來重現市場中觀察到的模式，而不是對理性代理人的最佳策略進行建模。一個可能的例外是 Lucock (2003) 的工作，他定義了最優策略的概念，而不求助於效用函式。儘管我們的目標與經濟物理學文獻的目標不同，但我們將利用他們的結果來推斷買入和賣出訂單的合理到達率。特別是，對我們最有用的結果是市價訂單的規模分佈（Maslow 和 Mills 2001，Weber 和 Rosenow 2005，Gabaix et al. 2006）以及市價訂單的臨時價格影響（Bouchaud et al. 2002 ，Weber 和 Rosenow 2005）。
因此，我們的方法是將 Ho 和 Stoll 方法的效用框架與經濟物理學文獻中描述的實際限價訂單簿的微觀結構結合起來。主要結果是透過直觀的兩步程式得出最佳買入價和賣出價。首先，經銷商根據當前庫存計算出該股票的個人無差異估值。其次，他透過考慮將其報價作為與中間價格的距離的函式來執行的機率，根據限價訂單簿校準其買入和賣出報價。我們解決方案的精髓在於平衡交易商的個人風險考慮和市場環境。
本文的結構如下。在第 2 節中，我們描述了該模型的主要構建模組：中間市場價格的動態、代理商的效用目標以及作為與中間價格距離的函式的訂單到達率。在第 3 部分中，我們求解最佳出價和要價，並將其與代理商在給定當前庫存的情況下的保留價格聯絡起來。然後，我們提出一個近似解決方案，對代理策略的效能進行數值模擬，並將其損益 (P&L) 概況與基準策略的損益概況進行比較。
02
模型
股票的中間價
為簡單起見，我們假設貨幣市場不支付任何費用興趣。股票的中間市場價格或中間價格根據以下公式變化：
初始值St 1/4 s。這裡 Wt 是標準的一維布朗運動並且是常數。y 這個連續時間模型的基礎是隱含的假設，即我們的代理對股票的漂移或任何自相關結構沒有意見。
該中間價格將僅用於在投資期結束時評估代理商的資產。他可能不會以這個價格進行無成本交易，但這種隨機性來源將使我們能夠衡量他的庫存風險。在第 2.4 節中，我們將介紹透過限價訂單進行交易的可能性。
有限視野的最佳化代理
代理人的目標是在終端時間 T 最大化其損益曲線的預期指數效用。這種凸風險度量的選擇特別方便，因為它允許我們定義獨立於代理人的財富。
我們首先對一個不活躍的交易者進行建模，他在市場上沒有任何限價訂單，只是持有 q 個股票的庫存，直到終端時間 T。這種“凍結庫存”策略稍後將被證明在允許限價訂單的情況下是有用的 。代理的價值函式為
其中 x 是以美元為單位的初始財富。該值函式可以寫為
這直接向我們展示了它對市場引數的依賴。
我們現在可以為代理定義預訂出價和要價。保留投標價是使代理人在他當前的投資組合和他當前的投資組合加一隻股票之間無差異的價格。預訂要價的定義類似如下。我們強調，這是從代理商角度來看的主觀估值，並不反映交易應發生的價格。
定義1. 令v 為主體的價值函式。他的保留投標價格 rb 由以下關係隱式給出
預訂問價ra解決
涉及方程 (3)、(4) 和 (5) 的簡單計算可得出兩個價格的封閉式表示式
在不允許交易的環境中。我們將這兩個價格的平均值稱為保留價或無差異價
鑑於代理人持有 q 股票。此價格是對中間價的調整，該中間價考慮了代理商持有的庫存。如果代理商是多頭庫存（q40），則保留價格低於中間價，表明希望通過出售庫存來清算庫存。另一方面，如果代理人做空股票（q50），則保留價格高於中間價格，因為代理人願意以更高的價格購買股票。
無限視野的最佳化代理
由於我們選擇了衡量代理績效的最終時間 T，因此預訂價格 (8) 取決於時間間隔 (T t)。直觀上，我們的代理越接近時間 T，他的庫存風險就越小，因為它可以在中間價格 ST 清算。為了獲得保留價格的固定版本，我們可以考慮以下形式的無限水平目標
固定預訂價格（定義方式與定義 1 相同）由下式給出
引數！因此，可以被解釋為我們的代理商可以採取的庫存頭寸的上限。自然選擇
將確保上面定義的價格有界。
限價訂單
現在，我們求助於一位代理人，他可以透過圍繞（1）給出的中間價格設定的限價訂單來交易股票。代理人報出買入價 pb 和賣出價 pa，並承諾如果他被市價單“擊中”或“提升”，則分別以這些價格買入和賣出一股股票。這些限價單 pb 和 pa 可以持續免費更新。距離
當前限價訂單簿的形狀決定了大額市價訂單執行時的執行優先順序。
例如，當買入Q股的大額市價單到達時，賣價最低的Q限價單將自動執行。這會造成暫時的市場影響，因為交易發生的價格高於中間價格。如果 pQ 是該交易中執行的最高限價訂單的價格，我們定義
為大小Q的交易對市場的臨時影響。如果我們代理的限價單在此市價單的範圍內，他的限價單將被執行。
我們假設市場買單將以泊松率 delta a（a 的遞減函式）“提升”我們代理的限價賣單。同樣，出售股票的訂單將以泊松率delta b（b 的遞減函式）“擊中”代理商的買入限價訂單。直觀上，代理商的報價離中間價越遠，他收到買賣訂單的頻率就越少。
財富和庫存現在是隨機的，取決於市場買賣訂單的到來。事實上，每次有買賣訂單時，現金財富都會增加
其中 Ntb是代理人買入的股票數量，Nta是賣出的股票數量。Ntb 和 Nta 是強度為 b 和 a 的泊松過程。t 時刻持有的股票數量為
可以設定限價訂單的代理人的目標是
請注意，與上一小節中描述的設定不同，代理控制買價和賣價，因此間接影響他收到的訂單流。在解決這個問題之前，我們考慮一些受經濟物理學文獻最新結果啟發的強度lambda a和lambda b的現實函式形式。
交易強度
經濟物理學界的主要目標之一是描述金融市場微觀結構的規律。在這裡，我們將重點關注解決泊松強度的結果，限價訂單將按照泊松強度執行，作為其與中間價格的距離的函式。為了量化這一點，我們需要了解以下方面的統計資料：（i）市價訂單的總體頻率，（ii）其規模分佈以及（iii）大型市價訂單的臨時影響。彙總這些結果表明 應該以指數函式或冪律函式的形式衰減。
為簡單起見，我們假設市場買入或賣出訂單的頻率恆定。這可以透過將一天的交易總量除以當天市場訂單的平均規模來估算。
多項研究發現，市場訂單規模的分佈遵循冪律。換句話說，市價訂單規模的密度為
對於大 x，Gopikrishnan 等人的 alpha = 1.53。(2000) 對於美國股票，Maslow 和 Mills (2001) 對於納斯達克股票，alpha = 1.4，對於 Gabaix 等人，alpha = 1.5。(2006) 巴黎證券交易所。
經濟物理學文獻中對市場影響統計的共識較少。這是由於對於如何定義它以及如何衡量它存在普遍分歧。一些作者發現，價格 p 的變化遵循大小 Q 的市場訂單，由下式給出
其中 Gabaix 等人的 beta = 0.5。(2006) 且 beta = 0.76 韋伯和羅塞諾（2005）。波特與布紹(2003) 找到更適合該函式的方法
彙總這些資訊，我們可以得出執行代理訂單的泊松強度。這種強度僅取決於他的報價與中間價格的距離，即賣單到達時的lambda b 和買單到達時的 lambda a 。例如，使用（9）和（11），我們得出
或者，由於我們對短期流動性感興趣，因此可以透過積分限價訂單簿的密度來直接得出市場影響函式。Smith 等人描述了此過程。(2003) 以及 Weber 和 Rosenow (2005) 得出的結果有時被稱為“虛擬”價格影響。
03
解決方案
最佳買入價和賣出價
回想一下，我們代理的目標是由價值函式給出的
其中最優反饋控制sigma a 和sigma b 將取決於時間和狀態。這種型別的最優經銷商問題首先由 Ho 和 Stoll (1981) 研究。他們分析的關鍵步驟之一是使用動態規劃原理來證明函式 u 求解以下 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程
該非線性偏微分方程的解在變數 s、x 和 t 中是連續的，並且取決於庫存 q 的離散值。由於我們選擇了指數效用，我們能夠用 ansatz 來簡化問題
直接替換可得出以下等式theta：
將保留買價和賣價的定義（第 2.2 節中給出）應用於 ansatz (14)，我們發現 rb 和 ra 直接依賴於該函式 theta。的確，
是股票的保留買入價，當庫存為 q 且
是當庫存為 q 時的預訂要價。根據(15)中的一階最優性條件，我們得到最優距離theta b和theta a。它們由隱含關係給出
總之，最佳買入價和賣出價是透過直觀的兩步過程獲得的。首先，我們求解偏微分方程（15）以獲得保留買價和賣價 rb(s, q, t) 和 ra(s, q, t)。其次，我們求解隱式方程（18）和（19）並獲得中間價格與最佳買賣報價之間的最佳距離theta b（s，q，t）和theta a（s，q，t）。第二步可以解釋為我們對當前市場供給 b 和需求 a 的冷漠價格的校準。
q 的漸近展開
主要計算困難在於求解方程(15)。訂單到達項（即表示式中要最大化的項）是高度非線性的，並且可能取決於庫存。因此，我們建議對庫存變數 q 進行漸近展開，並對訂單到達項進行線性近似。在對稱、指數到達率的情況下
無差異價格 ra(s, q, t) 和 rb(s, q, t) 與其“凍結庫存”值一致，如第 2.2 節所述。將方程（18）和（19）給出的最優值代入（15）並使用指數到達率，我們得到
考慮庫存變數的漸近展開
無差異買價和賣價的確切關係，（16）和（17），收益率
使用方程（24）和（23）以及最優條件（18）和（19），我們發現最優定價策略相當於引用價差
大約為以下給出的預訂價格
術語 theta 1 可以解釋為庫存為零時的保留價格。第2項可以解釋為做市商報價對庫存變化的敏感度。例如，由於 theta 2 結果為負，積累 q40 多頭頭寸將導致報價大幅降低
(25) 中的買賣價差與庫存無關。這是根據我們對指數到達率的假設得出的。價差由兩部分組成，一部分取決於對庫存 theta平方變化的敏感度，另一部分取決於引數 k 的訂單到達強度。
對訂單到達項進行一階近似
我們注意到線性項不依賴於庫存 q。因此，如果我們將（22）和（26）代入（21）並對q階項進行分組，我們得到
因此，對於訂單到達項的線性近似，我們獲得相同的無差異價格
至於2.2節中的“凍結庫存”問題。然後我們設定出價/要價價差，由下式給出
圍繞這個冷漠或保留的價格。請注意，如果我們對階數到達項進行二次近似，我們仍然會獲得 theta1= s，但敏感度項 theta平方(s, t) 將求解非線性 PDE
因此，方程（29）和（30）為我們提供了根據模型引數的買價和賣價的簡單表示式。這個近似解還簡化了我們在下一節中執行的模擬。
數值模擬
我們現在測試策略的績效，主要關注損益曲線的形狀和最終庫存 qT。我們將我們的策略稱為“庫存”策略，並將其與圍繞中間價格對稱的基準策略進行比較，無論庫存如何。這種策略，我們稱之為“對稱”策略，使用庫存策略的平均價差，但以中間價格為中心，而不是保留價格。
在實踐中，時間步長 dt 的選擇是一個微妙的選擇。一方面，dt 必須足夠小，以便多個訂單到達我們的代理的機率很小。另一方面，dt 必須大於典型的報價時間，否則代理的報價將如此頻繁地更新，以至於他將看不到任何訂單（特別是如果他的報價超出市場買/賣價差）。
就我們的模擬而言，我們選擇了以下引數：s =100、T = 1、theta = 2、dt = 0.005、q = 0、r = 0.1、k = 1.5 和 A = 140。模擬透過以下方式獲得 以下過程：在時間 T，給定狀態變數，計算代理的報價 a 和 b。
請注意，在時間 t = 0.15 時，買賣報價相對較高，表明庫存頭寸一定為負（或空頭庫存）。由於出價被積極地設定在中間價格附近，我們的代理更有可能購買庫存，並且庫存在時間 t = 0.2 時迅速返回到零。當我們接近終端時間時，我們代理的買入/賣出報價看起來更像是圍繞中間價格對稱的策略。事實上，當我們接近終端時間時，我們的庫存頭寸被認為風險較小，因為中間價格不太可能大幅波動
然後，我們執行 1000 次模擬，將我們的“庫存”策略與“對稱”策略進行比較。該策略使用一段時間內庫存策略的平均買/賣價差，但以中間價為中心。例如，報價價差為 1.49 美元（對應於 = 0.1 的最優代理的平均價差）的對稱策略的表現如表 1 所示。
該對稱策略比傳統策略具有更高的回報和更高的標準差。庫存策略。對稱策略由於以中間價格為中心，因此獲得略高的回報，因此比庫存策略收到的訂單量更高。然而，庫存策略獲得的損益曲線的方差要小得多，如圖 2 中的直方圖所示。
表 2 顯示了對r = 0.01 的“庫存”策略與相應的“對稱”策略進行比較的模擬結果。這個較小的r值代表接近風險中性的投資者。因此，庫存效應要小得多，並且兩種策略的損益曲線非常相似，如圖 3 所示。事實上，在 r -> 0 兩個策略是相同的。
最後，我們在表 3 中顯示了 r=1 兩種策略的表現。這種選擇對應於非常厭惡風險的投資者，他們會竭盡全力避免積累庫存。該策略產生的利潤和最終庫存的標準差較低，但產生的利潤比相應的對稱策略更溫和（見圖 4）。
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