【遇見數學】為大家整理了《基礎數學講義》第一章的精華要點，感興趣的朋友可以一覽概況。書籍作者是英國著名的數學家與科普作家伊恩·斯圖爾特，其實他的每一部著作都深入淺出、引人入勝。
第一章 數學思維
數學是人類活動，基於人腦經驗，有優勢也有不足。人類可進行邏輯思考，包括理解形式數學證明每一步背後邏輯以及從全域性角度理解整個論證過程。全域性理解需將想法融入數學整體規律並與其他領域類似想法聯絡，為未來學習打基礎，且能在發現錯誤方面發揮重要作用。例如，分步證明中可能難以察覺的錯誤，從全域性看若得出與大方向相悖結論，則能提醒錯誤存在。學生需掌握分步理解和全域性理解兩種思維方式，才能完全理解學科並有效運用知識。全域性理解難度較大，需從大量獨立資訊中找邏輯規律，且新資訊可能與既有規律相悖，導致需要更新舊的理解。結合全域性與分步理解有助於發現錯誤。例如在計算中，可能出現錯誤結果或錯抄結果，第一個錯誤可能需重新計算發現，而第二個錯誤可透過算術規律輕鬆找到。說明全域性理解和分步理解結合能更好地發現錯誤。學生應掌握這兩種思維方式，分步理解可透過單獨拿出每一步多練習實現，全域性理解則需從大量資訊中找邏輯規律。1.1 概念的形成理解人類學習新思想的過程對思考數學很重要。當面對基礎性問題時，我們會重新思考自認為了解的思想，這過程中可能會感到不安，但大部分人都有類似經歷。即便是老練的數學家也曾一步步學習數學概念，遇到問題或新概念時，需在腦海中思考回憶類似情況，直到找到條理，形成定義和證明。以“顏色”概念形成類比數學概念形成。“顏色”的科學定義難以直接教給孩子，需透過展示具體物體並告知顏色名稱來讓孩子逐步理解顏色意義。先教具體顏色，孩子透過觀察不同物體建立對顏色的認知，之後可引入“深藍”“淺藍”等概念。重複過程可建立不同顏色概念，當孩子能回答新物品顏色時，說明其腦海中已形成“顏色”概念。數學概念形成類似，以讀者已有的數學理解為基礎，用生活例子引入新概念，不斷完善和擴充套件，逐步建立更復雜的數學概念。公理化構建數學體系對初學者較難。雖然可以用公理化方法從空集構建數學體系，但對不瞭解該體系的人來說難以理解，如同無字天書。專業人士可能能從邏輯構造中猜出概念，但外行難以理解。定義新概念需用足夠例子解釋其含義和用途。1.2 基模數學概念是系統認知即“基模”。心理學家將數學概念這種系統認知稱作“基模”。例如，孩子透過學習數數，從“一二三四五，上山打老虎”過渡到理解“兩塊糖”“三條狗”，最後意識到不同事物中的共通點，建立數字的基模。基模的建立與發展過程。孩子透過自身經驗，如兩隻手、兩隻腳、看到的動物以及學過的順口溜等，將許多資訊歸併到一起形成概念或基模。接著學習簡單算術，發現其精確性質，如“3 加 2 等於 5，那麼 5 減 2 等於 3”，逐漸建立整數算術基模，可回答“5 減 2 是多少”等問題。基模隨新概念變化及學習中的困惑。當遇到新問題，如“5 減 6”，孩子最初覺得無法計算，學習負數後則能回答“-1”，這是因為“減法”基模為適應新概念發生了變化。在看到溫度計刻度或瞭解銀行業務後，對“減法”概念的理解需改變，過程中可能會有困惑，但最終能得到滿意解釋。學習過程就是讓現有的基模變得更復雜以應對新概念，這個過程會伴隨疑惑，瞭解困惑成因很重要。困惑可能源於作者疏忽或讀者需修正認知，這是一種建設性的困惑，標誌著進步。解決困惑後會有成就感，數學挑戰也能滿足審美需求。1.3 一個例子數學概念發展史說明新觀念產生過程。負數的引入曾遭反對，認為“不可能比一無所有更窮”，但如今在金融領域，借記和信貸概念使負數融入日常生活。複數的發展也充滿爭議，數學家都知道正數和負數平方都是正數，所以當 -1 的平方根 i 出現時，引發困惑和不信任。萊布尼茨認為 i 具有神秘性質，既不是正數也不是負數。複數的接納與推廣性質的變化。複數無法輕易融入大多數人關於“數”的基模，學生初次接觸也常感抗拒。現代數學家透過用平面表示複數，擴充套件了基模，使複數得以被接納。特殊情形推廣為一般情形後，部分性質保留，如複數加法和乘法的交換律；部分性質改變，如實數順序的性質在複數基模中不存在。數學系統變化帶來的困惑與不同反應。這種現象普遍存在，當數學系統發生根本性變化時，如引入負數或複數，會讓人感到困惑。有人能接納新知識，有人則抗拒，19 世紀末期的一個著名例子改變了 20 世紀和 21 世紀的數學。1.4 自然數學與形式數學數學起源與發展歷程。數學起源於計數和測量等現實活動，古希臘人建立的歐氏幾何和質數理論與現實相關。牛頓的微積分基於古希臘幾何和代數，是現實中算術運算的推廣。從自然數學到形式數學的轉變。19 世紀末，數學研究焦點從物件和運算性質變為基於集合論和邏輯證明的形式數學。這一轉變帶來視角的徹底改變和對數學思維的深刻洞見，對中小學到高等教育階段的數學學習轉變至關重要。1.5 基於人類經驗建立形式化概念中學到形式數學的教學方法反思。從中學數學過渡到形式數學，從零開始學習形式化定義和推導並不明智。20 世紀 60 年代的“新式數學”基於集合論和抽象定義教學，以失敗告終，因為學生需要連貫的知識基模理解定義和證明。正確的學習方法與建議。如今我們應從實際研究中吸取教訓，鼓勵讀者仔細思考文字含義，建立緊密數學關聯，養成自我解釋習慣。學習數學基礎要逐步學習新概念，而非一開始就消化嚴密定義。在學習過程中，對概念的理解將愈發複雜，有時會用嚴謹語言重新闡述之前不明確的定義。本書將從中小學知識開始，逐步構建數軸、介紹集合論和邏輯、探討數系公理化結構，最終得到實數系統的公理，證明實數可以用數軸上的點表示。1.6 形式化系統和結構定理形式化系統的優勢。從公理構建形式化系統有巨大優勢。形式化定理在任何滿足公理的系統中都成立，不會過時，也適用於新系統，無需重新驗證觀念。結構定理的作用。形式化系統推匯出的某些定理可證明系統性質能以特定方法圖形化和符號化，如完備有序域有唯一結構可用數軸上的點或小數表示。這為形式化證明帶來新功能，融合了形式化、圖形化和符號化運算，結合了人類創造力和形式化方法的精確性。
1.7 更靈活地使用形式數學數學第四章會介紹群論和從有限到無限的兩種擴張。討論群論以及從有限到無限的兩種擴張方式。一種是將元素個數概念從有限集推廣到無限集，若兩個集合元素一一對應則具有相同基數，但無限基數的減法和除法無法唯一定義，一個無限基數的倒數不是基數。另一種是將實數擴張到更大但不完備的有序域，存在大於所有實數的元素 k，它與無限基數有很大區別，如存在倒數。數學發展的特點與啟示。表明一個無窮的數在不同系統內性質不同，數學不斷發展，新的概念可能在合適公理下成立。菲利克斯·克萊因指出數學發展如樹，從對應人類正常思維水平的點開始，根據科學和興趣要求，向不同方向進展。本書將從學生已知知識開始，逐步深入挖掘基本思想，構建形式結構並應用到更多結構上，最後討論基本邏輯原理髮展，支撐讀者未來數學成長。
新書上市
《基礎數學講義：走向真正的數學》
作者：(英) 伊恩·斯圖爾特 (Ian Stewart) 、(英) 戴維·托爾
譯者：姜喆
數學暢銷書作家伊恩•斯圖爾特 X 數學思維發展和教育家戴維·托爾合力打造高等數學入門經典鉅作。
在數學學習的道路上走向“成熟”彌閤中學與大學數學學習的差距一本被美國大學廣泛採用的參考書啟發思維，有效引導，知識與方法深度結合
