在過去的兩年中，數學家們專注於發現各種簡單形狀的最理想表現形式，探索在特定限制條件下能最有效實現既定目標的形狀，即“最優”形狀。這個概念涉及在給定的約束（如空間大小或材料限制）下，找出最具效益或效率的幾何形狀。自然界中蜜蜂建造的六角形蜂巢是一個典型例子，展示了這一原理。蜜蜂本能地選擇六邊形結構來構建蜂巢，因為這種形狀在佔用最小空間的同時能提供最大的儲存容量，這正是在資源有限的情況下選擇最佳形狀的實際應用。
布朗大學的理查德·施瓦茨教授和他的研究團隊，包括他的妻子布麗安妮·伊麗莎白·布朗，一直在探究最優形狀領域的問題。施瓦茨教授指出，他們的研究集中於一系列物件，旨在確定哪些形狀能在特定條件下實現某些屬性或功能的最大化或最小化。自上年八月以來，他已經發布了三項這方面的重要研究成果。
這些研究主要關注如何使用最少的材料，例如紙張、繩子或繩索，來構造特定的形狀。其中一個關鍵的成果涉及莫比烏斯帶（Möbius strip），這是一種透過將紙條扭曲一次並連線兩端而形成的特殊幾何形狀。莫比烏斯帶的獨特之處在於它只有一個表面，這意味著可以在筆不離開帶子的情況下沿著它的表面繪製一圈。施瓦茨教授的工作不僅揭示了這些形狀的獨特幾何和拓撲特性，而且還展示瞭如何以最經濟的方式構造這些形狀，對於理解材料利用效率和形狀的本質特性具有重要意義。
從20世紀30年代開始，數學家們就在探索能夠製作成莫比烏斯帶的矩形的最小尺寸。關鍵的問題是確定矩形的最短長度，以便在扭曲後仍能將兩端連線起來形成莫比烏斯帶。實際上，將一個長條形狀的矩形扭曲成莫比烏斯帶相對容易，因為它的長度足以在扭曲後連線兩端。相反，將一個正方形（長度和寬度相同）轉化為莫比烏斯帶則似乎是不可能的，因為它的長度不足以允許扭曲後的連線。因此，數學家們試圖找出長和寬之間的最優比例，這樣的矩形既能夠被扭曲成莫比烏斯帶，又是尺寸上的最小可能（即臨界點）。
在探討最優形狀時，數學家通常會關注最小化或最大化特定數值，例如條帶的寬度與長度的比例。這一過程涉及尋找一種形狀的極端表現，即在特定條件下形狀的理想或高效表現形式。
最優形狀的研究構建了幾何學與拓撲學之間的聯絡。幾何學關注具體的量度，如長度和大小，而拓撲學則專注於那些理想化的物件，這些物件在理論上可以無限伸展或壓縮。在拓撲學的視角中，尺寸和形狀的不同並不影響物件的基本性質。例如，莫比烏斯帶在拓撲學中被視為相互等效，因為大小不同的莫比烏斯帶可以透過伸展或壓縮轉換。這意味著，無論其實際尺寸如何，所有矩形條帶在拓撲上被認為是相同的。
當一條帶子經過扭曲並將兩端相連形成莫比烏斯帶時，這種操作實際上在挑戰拓撲學的邊界。莫比烏斯帶的製造過程涉及改變帶子的基本拓撲結構，從而創造出一個全新的形狀，具有唯一連續的表面。
在研究最優形狀時，特別是處理像莫比烏斯帶這樣的結構，本質上是在探索拓撲學的極限。拓撲學關注的是物體在經歷連續變形（例如伸展或壓縮）時保持不變的屬性。因此，對於莫比烏斯帶來說，關鍵問題是它能被擠壓或拉伸到何種程度，而仍然保持其作為莫比烏斯帶的拓撲特性？
近年來，在最優形狀的研究領域，已經有至少五項重大發現，它們為不同的幾何形狀確定了新的最佳值。這些形狀包括莫比烏斯帶、三扭莫比烏斯帶（three-twist Möbius strip）和簡單結（simple knot）。一部分研究確立了這些形狀的最佳值，這些值可能涉及到在特定條件下的最高效率或最低材料消耗。另外一些研究則證明了對於這些形狀而言，已發現的最佳值是目前能夠達到的極限，暗示著在當前的技術和理論水平下，不可能有更優的值。
最優莫比烏斯帶
數學家們採用了被稱為縱橫比的數值來衡量矩形有多接近於一個正方形。縱橫比是透過將矩形的長度除以其寬度來計算的。在這種計算方式下，一個正方形的縱橫比是1，因為它的長度和寬度相等。另一方面，一個長條形狀的矩形，像絲帶一樣，由於長度大大超過寬度，它的縱橫比會更高。
這個概念在將矩形材料扭曲成特定結構時尤為重要，比如在製作莫比烏斯帶時。具有較高縱橫比的矩形，由於長度充足，可以較容易地被扭曲並連線成一個環狀結構。然而，隨著矩形的尺寸變短，其縱橫比趨向於1，也就是越來越接近正方形的形狀，進行這樣的扭曲變得越來越難。一旦矩形足夠短，幾乎成為一個正方形，它可能就無法被有效地扭曲並連線成所需的結構了。因此，縱橫比是判斷矩形材料在製作特定幾何結構時的可行性的一個關鍵因素。
1977年，兩位數學家猜想，要使固定寬度為1的矩形能夠扭曲成莫比烏斯帶，它的長度必須超過√3。
2023年8月，施瓦茨證明了他們是正確的。
你可能會想找一個巧妙的解決辦法。透過將正方形紙張像手風琴一樣摺疊成一條紙帶，然後將其扭曲。這種方法似乎巧妙地解決了如何從一個較大的紙張中得到足夠長的紙帶的問題。但這種手風琴式的摺疊方式在摺痕處產生尖銳的角，而不是數學上所指的平滑曲線或表面。在數學用語中，“平滑”通常描述的是無斷點、連續且沒有尖銳轉折的曲線或表面。因此，儘管這種摺疊的正方形可以在物理形態上被扭曲成莫比烏斯帶，但由於其摺痕的尖銳角度，它不符合數學上定義的莫比烏斯帶的平滑特性。
在確定最優形狀的特徵時，使用了一種稱為“極限形狀（limiting shape）”的關鍵概念作為工具。極限形狀在某些重要方面與原始的最佳化物件不同，但同時也保持了一些共同的特徵。舉個例子，如果不斷地拉長一個矩形，它會逐漸變得更細，最終看起來像一條線。同樣，隨著多邊形邊數的增加，其形狀越來越接近於一個圓。在這兩種情況中，矩形和多邊形的極限形狀分別變成了線和圓。這些極限形狀雖然在某些屬性上與原形狀有所不同，但仍然保留了一些基本的幾何特性。透過研究極限形狀，可以獲得關於形狀的最優特性和可能性的深入見解。
在這種情況下，施瓦茨為莫比烏斯帶建立了一個極限形狀。從一塊寬1單位、長√3單位的矩形紙開始。按照以下方式進行摺疊，
開始時，你需要把紙張從左上角向下折，然後從右下角向上折，這樣操作會使紙張變成菱形狀。緊接著，在菱形的中線處摺疊，並使用膠帶把在菱形內相交的邊（這些邊在上圖1中以藍色和黃色虛線表示）粘合在一起。之後，透過調整紙帶的長度或寬度來給予結構一些彈性，使得可以展開摺疊形成的三角形。這樣操作後得到的結構就是一個莫比烏斯帶。在這個莫比烏斯帶上，一個無窮小的螞蟻如果在三角形表面上沿著摺痕行走，就會繞行一圈——它只有一面。
數學家們早已知道，這樣的三角形是莫比烏斯帶的極限形狀。施瓦茨證明了其他可能讓條帶更短的極限形狀並不存在。為了證明這一點，他特別使用了由三角形摺痕構成的“T”形，如上面最右邊的三角形所示。
施瓦茨在他的研究中巧妙地將拓撲學和幾何學的理念相結合。在拓撲學領域，他表明在莫比烏斯帶的每一片紙上都能畫出一種特殊的相交線條，這些線條組合起來形成一個"T"形。這一點在拓撲學中是有意義的，因為拓撲學關注的是物體在不斷變形時保持不變的性質。
繼而，他利用幾何學的基本原理，特別是畢達哥拉斯定理和三角不等式，來證明這樣的"T"形必然意味著原始紙帶的長寬比必須超過√3。這個發現意味著為了構造一個莫比烏斯帶，條帶的長度必須至少是寬度的√3倍。
最優扭曲圓筒
在施瓦茨確定了最優莫比烏斯帶之後，很多人自然會問到：如果增加扭曲次數會怎樣？任何奇數次的扭曲都會產生一個莫比烏斯帶，因為結果形狀仍然只有一面。另一方面，偶數次的扭曲產生一個叫做扭曲圓筒（twisted cylinder）的雙面結構（如下圖左側所示）。不同於普通的圓筒，它沒有明確的內外之分。
在完成了關於莫比烏斯帶的論文之後，施瓦茨在9月下旬證明了扭曲圓筒的極限形狀可以透過摺疊一個1×2的矩形制成，該矩形由四個堆疊的直角等腰三角形組成（如上圖右側所示）。首先，將B三角形摺疊到A三角形後面，將D三角形摺疊到C三角形上面（虛線箭頭表示向後摺疊，實線箭頭表示向前摺疊）。然後將得到的三角形對摺，將下半部分摺疊到上半部分後面。接著將藍色和黃色的虛線（原本是矩形的上下部分）用膠帶粘在一起。最後，使起始的矩形稍微變長一些，以便有足夠的鬆弛度將扁平的形狀拉伸成一個擠壓的扭曲圓筒。
基本的想法是先構建極限形狀，然後稍微放鬆一些並圓滑摺痕，施瓦茨寫道。
如圖所示（上圖右側），堆疊的三角形形狀的長度是其寬度的兩倍，因此扭曲圓筒的最優縱橫比為2。
最優三扭莫比烏斯帶
施瓦茨接下來的研究專注於具有三次扭曲的莫比烏斯帶，這是一個仍然保持單面特性的形狀，但由於增加了兩次扭曲，其邊界結構比單次扭曲的莫比烏斯帶更復雜。這種三扭莫比烏斯帶被認為可能對應於一種稱為六邊形變形體的極限形狀，這是一種由等邊三角形組成的幾何結構。這種結構具有透過擠壓邊緣來改變其形狀的能力，這種變形方式類似於某些遊戲中的操作，使得不同的三角形部分顯露出來。
但施瓦茨的妻子布麗安妮·伊麗莎白·布朗開始自己用紙玩耍，質疑了六邊形變形體作為三扭莫比烏斯帶極限形狀的假設。布朗找到了一個她稱為“交叉”的構造（如下圖所示），
這是三扭莫比烏斯帶的極限形狀，其長度是寬度的三倍。首先沿著條帶中間的對角線摺疊，將下部分放到上部分的前面。然後將右上方的三角形摺疊到其左下方的三角形的前面。現在你得到了步驟2中的形狀：一個傾斜的平行四邊形，右側突出一個正方形。將正方形放到平行四邊形後面，將頂部的三角形放到現在在其下方的正方形前面。這樣製成了步驟3中顯示的新正方形。
最初的頂部和底部邊緣（由藍色和黃色虛線顯示）現在都在正方形的左側邊緣；將它們粘在一起，就創造了一個三扭莫比烏斯帶的極限形狀。就像一扭帶的情況一樣，這個平面形狀本身不是莫比烏斯帶，但如果給它稍微增加一點長度，使其能夠在三維空間中鬆弛開並且沒有尖銳的彎曲，它將形成一個三扭帶。
最佳三葉結
在最優形狀的研究中，數學家們的興趣並不僅侷限於莫比烏斯帶的各種變體。他們還在探索製作各種不同型別的結需要多少材料。例如，在2020年，兩位本科學生專注於研究那些能夠在圓環面上（一種類似於甜甜圈的形狀）畫出來的結。
在這些結中，最簡單但非常規的一種被稱為三葉結。這種結的形成類似於繫鞋帶時的一個常見步驟：使用一根繩子或鞋帶形成一個圈，然後將一端穿過這個圈。然而，與完成繫鞋帶的蝴蝶結不同，三葉結是透過將鞋帶的兩端直接粘合在一起形成的，最終形成一個平結，兩端呈鬆散狀態。透過這樣的研究，數學家們可以更好地理解在特定的幾何形狀上構造這種結所需的最優材料量。
通常系三葉結的方式等同於用一根繩子繞在圓環面上，如此處所示：
這種結在數學上可以被一條無限細的線定義。同樣，這種結也能適用於絲帶，正如在莫比烏斯帶的情況中看到的那樣，其中絲帶被看作是一種理想化的紙條。就像使用極細的線一樣，你也可以用絲帶來打這種結，如下所見，
如果你將絲帶拉緊並壓平，這種纏結會產生一個五邊形的極限形狀。
然而，這並不是將絲帶打成三葉結的最佳方式。Denne和她的學生們找到了更優的方法。他們的一種方法從三條平行的條帶開始，每條條帶的長度是其寬度的兩倍。他們找到了一種將條帶摺疊並連線兩端的方式，以形成具有不同極限形狀的三葉結。這種方法以及他們用絲帶打三葉結的另一種新方式都產生了6的長度與寬度比，超越了之前已知的最佳比例6.882。
用三維的繩索替換二維的絲帶。形成一個三葉結需要多長的繩索？在2006年的研究中，Denne、Yuanan Diao和John Sullivan發現，要構成一個三葉結，至少需要一根直徑為1單位的繩子，長度達到15.66單位。這個長度也被認為是打任何型別結所需的最短長度。數值模擬的結果表明，可能使用的最長繩子長度不超過16.372單位。儘管如此，關於這個問題的確切答案仍然未知，只能確定它位於這兩個數值之間。
現代數學的許多領域對於非專業人士來說可能顯得過於抽象，與日常生活的聯絡也不明顯，但最優形狀的研究卻是切實可行且具體的。例如，最優的三葉結之類的絲帶結被用於模擬分子生物學中的DNA結構，這不僅有助於解決具體問題，還為探索結理論領域中更抽象的問題提供了一個起點。透過簡單地操作紙張，人們能夠輕鬆入門並對數學進行深入的思考和理解。
