2023年日本京都獎授予美國數學物理學家Elliott H. Lieb， Lieb基於其多體物理學方面的工作，為物理學、化學和量子資訊科學等領域的數學研究奠定了基礎；也對數學分析做出重要貢獻。京都獎官方稱他是數學科學領域的智力巨人之一。在獲獎後的公眾講座中，他講述了自己半個多世紀以來的物理學和數學研究歷程（文中照片為Lieb講座中使用的）。
演講 | Elliott H. Lieb
整理 | 葉凌遠
我於1932年在美國波士頓出生，但我是在紐約市長大的，也在那裡形成了我的世界觀。我們家屬於中產家庭，但紐約市提供了非常優質的免費公立教育。我發現我喜歡創造，喜歡參與業餘無線電活動。我最自豪的是莫爾斯電碼學得很不錯，取得了無線電W2ZHS執照，可以連線全球所有其他的操作員，與他們傳遞資訊。這些愛好與努力受我表哥的影響很大，我曾以為這會引領我走上電氣工程師的道路。17 歲時，我隨全家一起搬回了波士頓。我極其有幸受到了著名物理學家 Victor Weisskopf 的推薦與鼓勵，進入了麻省理工學院，即人們所稱的 MIT。
Lieb度過大學時光的MIT（1949-1953）丨圖源：Wikimedia
在1949 年我進入麻省理工學院後不久，第一門物理課就改變了我的想法。Matthew Sands 是廣受歡迎的《費曼物理學講義》的合著者之一，他讓我領略到了牛頓物理學在智識上的美。起初，我很難掌握這些內容，高中的課程並沒有真正讓我有能力深入理解物理學定律，例如牛頓方程到底意味著什麼。我花了一段時間才弄明白牛頓方程。它的含義正如其表示的：力等於質量乘以加速度。要知道物體的加速度，必須先知道力和質量的大小。在不同的場景下，這些物理量的具體數值會有所不同，但背後的原理是一致的。在 Matthew Sands 耐心的幫助下，我花了一半的課程時間理解了這個方程的重要性，我的科學生涯自此有了一個良好的開端。與牛頓同時代的人一定也遇到過與我類似的困難。
自那以後，我放棄了成為工程師的想法，在後續本科學習過程中轉向了純物理課程。作為 MIT 的本科生，我非常有幸在研發早期粒子直線加速器的實驗室找到了一份兼職。現在實際執行的加速器都非常大了，但那時其體積還很小。這臺1700萬電子伏特的機器的建造者，Isaac Halpern 和 Peter Demos，是我遇到過的最鼓舞人心的人。他們對我的本科生涯產生了很大的影響。
Bates直線加速器丨圖源：MIT Museum
對1949年的民眾而言，物理並沒有像化學那樣為人所熟知。我的父親曾認為，我突然決定投身物理會讓我將來陷入貧困。但事實並非如此。我很幸運趕上了二戰後政府資助自然科學的浪潮，過上了體面的生活。
數學在我的學習中佔據了一定的份額，但並不是很多。我最有幸的是，在 MIT 向 Isadore Singer 學習了高等線性代數，後者因 Atiyah-Singer 指標定理而聞名。我與他隨後成為了很好的朋友。
在 MIT 畢業後，我想去看看更大的世界。到那時為止，除了幾個較大的美國城市，我沒有去過別的地方了。在 Weisskopf 教授的指導下，我畢業論文寫了與相對論有關的題目。他認為，英國伯明翰大學數學物理系有 Rudolf Peierls 教授和 Sam Edwards 與 Gerry Brown 兩位講師，是整個歐洲做理論物理最好的地方之一。並且，他們都說英語。這對我很重要，因為我那時還沒有接觸過任何一門外語。John Bell 是我那時的同學，他後來發現了一個對量子資訊而言極其重要的不等式。
英國伯明翰大學（1953-1956）丨圖源：University of Birmingham
那些年我的確實現了願望，遊歷了歐洲大多數的國家。在伯明翰度過了三年，我寫了一篇乏善可陳的博士論文，於 1956 年獲得了博士學位。下一站我就到了京都，因此我獲得博士學位後的第一份工作是在日本。為什麼選擇京都？我的叔叔在波士頓開了一家藝術書店，專營日本藝術，他讓我對浮世繪產生了濃厚的興趣。在伯明翰，我有幸和一位名叫吉田四郎（Shiro Yoshida）的日本核物理學家共用一間辦公室。我被指派幫助他提高英語水平，我做到了，而他則教我一些基本的日語作為回報。他沒有教我日語漢字，只是聽說，所以還是像文盲一樣。
Lieb博士畢業後來到京都（1956-1957）丨圖源：Japan Guide
儘管如此，美國富布賴特專案（Fullbright Program）為我提供了一年的資金，讓我得以前往京都大學基礎物理學研究所（YITP），這裡也被稱為湯川紀念館（Yukawa Hall）。無論從文化方面還是科學上，那一年的經歷都對我產生了深遠影響。在那之前，我一直懷疑我能否對科學做出有價值的貢獻。在京都，我認為我做到了。離開京都後，又過了四年我才再一次做到這一點。
京都大學基礎物理研究所丨圖源：Katsura Roen/Wikimedia Commons
在京都大學基礎物理研究所，我遇到了山崎和夫（Yamazaki Kazuo），一位才華橫溢的年輕日本物理學家。我與他保持了密切的合作關係，我們一起研究物理中很具有挑戰性的極化子模型（Polaron model），它描述了被限制在晶體內電子的運動。這在那時是一個熱門的方向。我們決定要超越從物理直覺出發的計算，在數學上嚴格計算出極化子模型的基態。我們證明極化子的能量實際上是有限的，換言之，基態是存在的。其他物理學家，如費曼，則認為這是不言自明的，儘管其他與此類似的物理模型中基態都不存在。就這樣，極化子的相關研究和我們兩人的生活都邁入了新的篇章。
極化子（Polaron）丨圖源：Wikimedia
正是這一段在京都的經歷，讓我確信我有能力做科研。兩年後，我在康奈爾大學見到了費曼本人，他詢問我的興趣是什麼。我自豪地向他介紹我在京都與山崎和夫一起做的工作，他相當激進地回覆說：“真正的物理學家不做那樣的研究！”在他眼裡，我作為一個年輕的學者浪費了自己的時間。這一負面的評價讓我更堅定不移地選擇了數學物理這條道路，並堅信它對物理學的意義。
伊利諾伊大學（1957-1958；左）和康奈爾大學（1958-1960）丨圖源：Wikimedia
從京都離開後，我在伊利諾伊大學待了一年，隨後又在康奈爾大學待了兩年，在著名的諾貝爾物理學獎得主Hans Bethe 手下工作，正是他解釋了太陽發光背後的核反應機制。然而，這三年我一無所獲，這讓我對自己作為一名數學物理學家的未來感到擔憂。但這一時期也讓我遇到了伴隨我一生的問題，即對玻色氣體的研究，特別是其最低能量態。玻色氣體是以印度物理學家Satyendra Nath Bose的名字命名的，具有特殊的量子性質。因此，我在最頂尖的大學、最頂尖的物理學家手下工作了兩年，直到1960年離開，我獲得的僅僅是一個值得思考的問題。這個問題在我腦海中縈繞了三十六年。直到許多年後，我才與 Jakob Yngvason 於1996年解決了這一問題，這也引發了現在數學物理領域對玻色氣體的興趣。
在康奈爾之後，我去了位於紐約約克敦高地的 IBM 計算機研究中心。那是 1960 年，該研究中心在這一年剛剛成立。這是我拿到的第一個永久性職位，儘管我只在那裡待了三年。我很幸運與兩位和我年齡相仿的同事共事，Ted Schulze 和 Dan Mattis。那時，我們三位學物理的人希望從數學的角度證明某些已經被接受的理論。這種興趣超出了其他所有工業界實驗室研究的範疇，因此我們很感激 IBM 給了我們這樣做的自由。
總體來說，1960 年到 1970年是世界物理學研究輝煌的十年，物理學中幾個重要的定理都出自這一時期。其中一個是 Lieb-Schultz-Mattis 定理，即一維的物質永遠不會被磁化。也就是說，一根原子鏈永遠不會產生磁性，至少需要有兩個維度才行。當時大多數的理論物理學家，包括著名的德國物理學家海森堡、我在伯明翰的博士生導師 Peirels 教授，以及我在康奈爾的導師Bethe，所設想的與此完全相反，他們曾認為在一維物體中磁化必定會發生。而我們證明了這永遠不會發生。我們花了一些功夫說服這些同事我們的結論是正確的，Peirels 最終接受了我們的數學證明。這是量子力學中最早引起廣泛關注的數學證明之一，我們後來就此繼續發展了幾個定理。
《一維數學物理學》（Mathematical Physics in One Dimension，1966）的重印本。丨圖源：E. Lieb
在 IBM 的第二年，我去了獅子山（譯者注：利用休假），這是西非的一個國家，我在該國首都弗里敦的一所大學教授了一年應用數學。當時這裡發生了很多社會政治運動，還暴發了瘧疾。順便一提，如果你沒有得過瘧疾，我可以告訴你這是一種令人非常難受的疾病。
Lieb利用學術休假在獅子山Fourah Bay College任教一年 丨圖源：Wikimedia
也因如此我在那裡有時間思考科學問題。正是那時我發明了一維玻色子的模型，後來回到 IBM 後，我與 Werner Liniger 一起求解了這一模型。現在，這一模型對理解量子力學多體問題起到基礎性的作用。雖然該工作是有關一維原子鏈的模型，但後來也被實驗證實了。
在紐約葉史瓦大學工作了兩年後，我又回到了波士頓，在東北大學擔任教授。在那裡，我與伍法嶽教授合著了《物理評論快報》（PRL）史上被引數最多的論文，求解了一維的赫巴德模型（Hubbard Model）。它至今仍保持著該期刊文章中被引用次數的最高紀錄。
PRL上被引用次數最多的論文
在東北大學期間，我把興趣轉向了其他領域：冰。水降溫後會結成冰，但冰並不簡單。冰和數學有什麼關係？Linus Pauling 有一個非常重要的觀察，他說冰的熵可以透過思考水分子的排列方式來計算。我們知道，水分子由兩個氫原子和一個氧原子組成。實驗發現，在絕對零度下，冰的熵也不會降為零。這是物理學史上最精妙的實驗之一。換句話說，冰中有一部分內蘊的熵，怎麼也不會消失。這意味著冰中氫原子和氧原子的排列，即水分子的朝向，有著顯著的隨機性。
一種描述冰的方法是將其想象為由箭頭組成的晶格模型。在這個模型中，每個點代表氧原子，箭頭代表氫的位置，它總是位於兩個氧原子之間，可以指向一側或另一側。正如我所說，即使在絕對零度下，冰中仍有一些變化存在，需要計算其重新排列的總數。這正是我所著手去做的。順便一提，這個模型是由 Linus Pauling 發明的。如下圖所示，在氧原子位於晶格上規則排列的情況下，冰的熵就等於氫原子排列方式總數的對數。同時，要形成冰要求每個頂點都有兩個箭頭指向它，兩個箭頭背離它。
二維冰模型丨圖源：Vadim Gorin
因此，計算冰的熵等價於計算在這張圖中符合規則的箭頭排列方式的總數。經過計算，該
了組合數學中的一個新分支，稱為“六頂點問題”。因為在每個頂點處，如果有兩個箭頭指向它，兩個箭頭背離它，那麼一共有六種可能的排列方式，你必須計算出在每個頂點處都同時符合這種配置的總排列方式。這延伸出了組合數學一個完整的子領域。我的貢獻在於找出了滿足要求的排列方式的總數，當然這一領域還有許多開放的問題，至今沒有得到解決。
接下來的幾年是我與 Joel Lebowitz 合作的高光時期。我們證明了庫侖力的熱力學極限存在。這一定理，和 Freeman Dyson 與 Andrew Lenard 證明帶電粒子具有能量下限的結論一起，證明了“物質的穩定性”。讓我來稍微解釋一下這一概念。一個原子，如你在這下圖中看到的那樣，有一個原子核，以及圍繞原子核旋轉的電子。電子所帶電荷量與原子核所帶電荷量相等。而要構成宏觀的物質，需要很多原子組合在一起。
物質的穩定性（The Stability of Matter）丨圖源：Indolences/Wikimedia Commons
問題是，為什麼這些原子核和電子排列構成的物質——看起來就像蜘蛛編織的產物——不會不穩定？宏觀物質本質上由無窮多核子和電子組成，但似乎沒有任何東西把它們緊緊地結合在一起，為什麼它會如此穩定？你可以敲擊它，它不會散開，儘管它是由上述圖片中所示的那些東西構成的。在物理學中，人們慢慢才意識到這個問題，而我們決定去解決它。上述影象雖然粗糙，但沒有原則性的錯誤。原子之間的確可以相互吸引，但吸引力非常微弱，並且它們仍保持各自的完整性。在數學上解開這個謎團花費了幾十年的時間，我也為解決這個問題做出了一些貢獻。這個問題的解決得益於多位學者共同的努力。如上述提到的 Dyson 和 Lenard，以及我的同事，還有 Walter Thirring。
隨後在1973年，Mary-Beth Ruskai 和我一同證明了量子熵的強次可加性（Strong subadditivity of quantum entropy）。從數學的角度來看，這一結論是量子計算的基石之一。證明該結論需要大量的數學分析，這也開啟了我從事純粹泛函分析的階段。這個時期我其他的工作包括證明了另一組解析不等式，即現在人們所稱的 Brascamp-Lieb 不等式，這些不等式在量子資訊理論中有非常廣泛的應用。Herm Jan Brascamp 是一位年輕的荷蘭數學和物理學家，我們那時在一起工作。
時間來到1975年，我接受了來自普林斯頓大學的職位，加入了它的數學系和物理系。在同一年，我與維也納大學的 Walter Thirring，全球最知名的數學物理學家之一，建立了友誼。之前提到過的 Dyson-Lenard 對物質穩定性的證明事實上較為複雜，而我們認為應該有更為簡潔的證明，不需要那麼多頁的計算，並能得出更好的穩定性估計。我們最終取得了很大的成功，且發明了一類全新的數學不等式（Lieb–Thirring inequality），現在它們以我倆的名字命名。
讓我再提及一些後來發生的事情。其中一個較為有益的成果是所謂的 Lieb-Oxford 界限。與Steve Oxford 合作時，我們找到了一個此前甚至沒有人設想其存在的界限，該界限與固體中的能量交換有關。我不會進行更詳細地解釋了，大家將其理解為使固體保持穩定的能量即可。是否有關於這個能量極限的任何估計？它可能會有多大？我們得到了這樣一個估計，而這是出乎人們意料的。
在1979年，我很幸運在學術休假時和我的妻子 Christiane Fellbaum 一起再次來到京都，她正坐在臺下。我們經歷了許多激動人心的事情，但也許其中最重要的一件事是關於電車的。我們在今出川通，見證了京都電車最後一次停下的瞬間。這是一個很有紀念意義的事件，現場有很多人。我清楚地記得這輛電車沿著軌道滑行，突然停下來，最後的電車就這樣終結在我們面前。
Lieb回到京都（1978-1979），見到了日本第一條有軌電車的停運丨圖源：Brendan Barrett
至於我之前提到的有關固體能量交換極限的工作，實際上就發源於我在京都的時期。但之後在普林斯頓，我和 Oxford 一起將這一界限改進到了現在的數值。
另一篇同樣具有影響力的論文也和日本有一定關係——有關電子自旋的 AKLT 模型。其中，A 代表Ian Affleck，K 代表Tom Kennedy；T 代表田崎晴明（Hal Tasaki），他是我1987年的博士後，今天也在現場。這是凝聚態物理中最早展示最低能量態和下一個能態之間存在能隙的模型之一。很少有物質具有這種性質。通常情況下，物質狀態的能量是從底部向上連續變化的，而在這裡卻存在一個能隙，這個能隙如今在大家習慣使用的電子產品中起到了很重要的作用。
我想提的最後一件事，就是我與Jakob Yngvason合作的對熱力學熵意義的研究。熵是熱力學中最古老的概念之一，可以追溯到十九世紀初熱力學的開端。然而，熵到底是什麼？它除了是一個可以（間接）測量的物理量之外，是否還有其他意義？獨立於玻爾茲曼所設想的原子和分子跳躍碰撞的圖景，熵還有沒有什麼其他的意義？難道熵就是粒子的運動？答案是否定的。熵具有更普遍的意義，它如今也在許多不同的領域中出現，比如計算機科學。
我們找到了熵的意義，它作為一個指標，表明了哪些狀態轉變是可能的。這就是熵。我們以一種完全獨立於任何物理模型的方式，解釋了熵的真正含義。熵指示了什麼是可能的，什麼是不可能的，而判斷標準則取決於起始狀態的熵是否小於最終狀態的熵。熵是一種計數方法，其表明的普遍規律則是，儘管物質原則上可以從一個狀態轉變到另一個狀態，但在大多數情況下，這種轉變只能朝一個方向進行，而這個方向是由一個叫作熵的簡單函式決定的。這提供了一種理解熵的全新視角。
在這次演講中，我提及了多個我有幸參與的數學、物理以及數學物理領域的研究。我十分榮幸與來自多個國家——特別是日本京都——的許多傑出同事進行合作，並在這一過程中得到了足夠的支援和鼓勵。儘管在職業最初有過疑慮，但我堅持了下來。我懷著謙卑的心情感謝稻盛財團授予我京都獎，並給予了我這個機會，讓我能夠分享我的生活和工作。謝謝大家。
本文基於知識共享許可協議（CC BY-NC）譯自Elliott H. Lieb “My Journey Through Physics and Mathematics”
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