|作 者：曹則賢
(中國科學院物理研究所)
本文選自《物理》2024年第10期
顛倒英雄古來有
——[唐]戴叔倫《行路難》
摘要約當是量子力學奠基人之一，是量子場論的奠基人，量子生物學也是他的主意。約當在量子力學建立過程中使用的數學最終導致了約當代數這個數學分支的誕生。約當是早慧的天才，又得到諸多科學巨擘的加持，其對物理學的貢獻給人一種信手拈來的感覺。令人不解的是，約當對科學的貢獻遭到了有意無意的忽視。約當被譽為無人提及的量子力學英雄(der unbesungene Helden der Quantenmechanik)，量子力學與量子場論被不公正地幾乎遺忘的共同構建者(zu Unrecht fast vergessenen Mitbegründer der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie)，這樣的命運令人不勝唏噓。
關鍵詞矩陣力學，變換理論，對易關係，反對易關係，費米—狄拉克統計，量子場論，量子生物學，約當代數
0哥廷恩，1924
哥廷恩是德國中北部的一個有著傳奇色彩的小鎮。有個叫施羅茨(August Ludwig von Schlözer, 1735—1809)的人曾用“Extra Gottingam non est vita, si est vita non est ita”來讚美這個小鎮，意思是“哥廷恩之外沒有生活；如果有生活，那也跟這兒不一樣”。哥廷恩確實有其獨特的地方，比如它有一所真大學。上世紀初二十年代的哥廷恩大學活躍著幾位被稱為die Bronzen(大咖)的數學家，包括希爾伯特、克萊因、閔可夫斯基、龍格(Carl Runge，1856—1927)以及福格特(Woldmar Voigt，1850—1919)。熟悉數學的朋友都知道希爾伯特、克萊因、閔可夫斯基被稱為數學三駕馬車，有傳奇無數。筆者不通數學，恕不多言。這幾位的物理成就值得略提一下，希爾伯特發展的一些數學理論是量子力學的基礎(希爾伯特空間是量子力學的基礎)且本人率先給出了引力場方程，閔可夫斯基的名字見於閔可夫斯基空間，克萊因與索末菲合著有《陀螺理論》。龍格在物理方面的興趣包括光譜學與天體物理，他的三個博士之一是提出量子力學的玻恩，而福格特是那個提出洛倫茲變換的人，且是個晶體學大家。
1924年，署名希爾伯特與庫朗(Richard Courant，1888—1972)的《數學物理方法I》(Methoden der mathematischen Physik I，Springer，1924)出版。該書1930年出版了第二版；後繼的《數學物理方法II》則遲至1937年才出版。接下來提及的庫朗的“數學物理方法”都是指《數學物理方法I》。這本書的內容多來自希爾伯特的文稿與講稿，但撰寫由庫朗負全責(…muss ich die Verantwortung allein übernehmen庫朗撰寫的作者序)。庫朗那段時間有個青年助手(時值21—22歲)參與了這本書的寫作過程。這個助手對這本書有什麼具體的貢獻，不好說，但是有一點是肯定的，這個青年對這本書的內容是非常精通的。他的名字出現在作者的致謝名單中。
1924年6月13日，哥廷恩年輕一輩的物理教授玻恩提交了一篇名為Über Quantenmechanik的論文，這標誌著量子力學的誕生。此時，以及接下來玻恩創立矩陣力學以及應用波動力學的日子裡，這個青年是玻恩教授的助手。
這個青年叫約當(Pascual Jordan，1902—1980)，他是在那一年在玻恩門下獲得的物理學博士學位(圖1)。
圖1 1920年的約當
《數學物理方法I》是那一年誕生的量子力學的數學基礎(注意，那個幫助薛定諤解了氫原子的薛定諤方程的外爾也出身哥廷恩，是希爾伯特的博士生)。此處我把該書中幾章的名字譯出來，大家看看是不是似曾相識。
第一章 Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Form (線性變換與二次型的代數)
第五章 Die Schwingsund Eigenwertprobleme der mathematischen Physik (數學物理中的振動問題與本徵值問題)
第六章 Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme (變分在本徵值問題上的應用)
第七章 Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen (本徵值問題定義的特殊函式)
特別地，第一章的第5節就有矩陣的基本因子以及酉陣譜方面的內容。這本書出現的第二年，這些內容就有了物理對應。我覺得，科學史家忽略了《數學物理方法I》對量子力學誕生的意義：沒有希爾伯特、庫朗的《數學物理方法I》就沒有量子力學。玻恩/約當，薛定諤/外爾，泡利，馮·諾伊曼，這些人在構築量子力學和撰寫量子力學著作時都提及了這本書。
在《數學物理方法I》這本書中，矩陣一詞，Matrix(複數Matrizen)共出現46次。英文版中更多，因為它把一些Tensor也給翻譯成了matrix。那個時代，很多數學物理教授都沒聽說過矩陣的概念。在哥廷恩的玻恩和約當熟讀這本書，所以玻恩在提出量子力學的概念後與約當一起構造了矩陣力學，而後還能應用於詮釋薛定諤的波動力學；約當參與構造了矩陣力學(特別地是給出矩陣力學的機率詮釋以及得到黑體輻射漲落的矩陣力學推導)，還自己給出了量子力學的變換理論形式。薛定諤也是熟讀這本書的，不信你比較這本書第六章與薛定諤1926年的論文。我忽然想到，任何一個在開始學習量子力學之前熟讀過這本書的人，應該都不會如筆者當初學習量子力學時那麼手足無措。
筆者斗膽說，量子力學及其詮釋不可能先出現在哥廷恩以外的任何地方。Extra Gottingam non est mechanica quantica, si est mechanica quantica non est ita. 或者，換個表述，Extra Gottingam non est Quantenmechanik, si est Quantenmechanik non est ita.
聽老農口口相傳，樹木、花草和莊稼要想長得好，前提是要有一片沃土。
1約當簡介
約當1902年出生於德國漢諾威的一個源自西班牙的貴族之家，這個家族每一代的長子必須叫Pascual。Pascual Jordan早慧且自幼就受到了良好的教育，12歲就試圖調和聖經與達爾文的進化論。1921年，約當進入漢諾威大學學習動物學、數學和物理，1923年轉入哥廷恩大學，作為數學家柯朗的助手，同時在物理學家玻恩和遺傳學家Alfred Kühn的指導下做博士論文{德國大學制度，三年或四年可獲博士學位，學位要在兩所大學完成，要有主專業和副專業。副專業在博士答辯後的考試階段會被特別關注。閱讀那時候德國科學家傳記時請注意這一點}。1924年，約當在玻恩門下獲得物理學博士學位。此時，約當已經完成了從學生到研究者的身份轉換，更重要的是，他獲得了一般天才人物所不具備的數學、理論物理、實驗物理和生物學知識(參閱他接下來幾年參與完成的幾本著作)。1927年，約當通過了Habilitation{解釋見此係列之前的文章}有了任講師的資格，然後到哥本哈根玻爾處待了半年。約當曾在羅斯托克大學、洪堡大學任教授，二次世界大戰後經泡利推薦在漢堡大學謀得一個客座教授差事，1953年才轉為正式教授直到退休。
約當對物理學的貢獻是卓越的。約當曾於1942年獲得普朗克獎，1955年獲得高斯獎，算是他的國家對其物理學、數學成就的肯定。約當是個被忽視的英雄，但他對建立量子力學和量子統計所做的貢獻，至少應該為欲掌握這些學問的學者所熟知。
2約當的量子力學論文與著作
談論量子力學奠基者對建立量子力學的貢獻，應基於其本人發表的原始文獻進行，需要關注的是文章的內容以及發表時間(宜與其他相關文獻的投稿或發表時間相對照)。約當在建立量子論、量子力學和量子場論方面發表的文章(不完全)羅列如下：
(1) P. Jordan, Zur Theorie der Quantenstrahlung (量 子 輻 射 理 論), Zeitschrift für Physik30, 297—319 (1924).
(2) P. Jordan, Über das thermische Gleichgewicht zwischen Quantenatomen und Hohlraumstralung (論量子原子與空腔輻射之間的熱平衡), Zeitschrift für Physik33, 649—655 (1925).
(3) P. Jordan, Bemerkungen zur Theorie der Atomstruktur (關於原子結構理論的幾點說明), Zeitschrift für Physik33, 563—570 (1925).
(4) M. Born, P. Jordan, Zur Quantenmechanik (走向量子力學), Zeitschrift für Physik34(1), 858—888 (1925).
(5) M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, Zur Quantenmechanik II (走向量子力學 II), Zeitschrift für Physik35(8-9), 557—615 (1926).
(6) P. Jordan, Über kanonische Transformationen in der Quantenmechanik (量子力學中的正則變換), Zeitschrift für Physik37, 383—386 (1926).
(7) P. Jordan, Über kanonische Transformationen in der Quantenmechanik II (量子力學中的正則變換II), Zeitschrift für Physik38, 513—517 (1926).
(8) P. Jordan, Über eine neue Begründung der Quantenmechanik (論量子力學的新築基)，Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen，Mathematisch-physikalische Klasse, 161—169 (1926). {neue Begründung 同 時 作 新 基 礎 、重新築基理解更好些}
(9) P. Jordan, Über quantenmechanische Darstellung von Quantensprüngen (論量子躍遷的量子力學表述), Zeitschrift für Physik40(9), 661—666 (1927).
(10) P. Jordan, Über eine neue Begründung der Quantenmechanik (論量子力學的新築基), Zeitschrift für Physik40(11-12), 809—838 (1927).
(11) P. Jordan, Über eine neue Begründung der Quantenmechanik II (論量子力學的新築基 II), Zeitschrift für Physik44(1-2), 1—25 (1927).
(12) P. Jordan, Zur Quantenmechanik der Gasentartung (氣體退化的量子力學), Zeitschrift für Physik44, 473 — 480 (1927). {Entartung, 一般譯為簡併}
(13) P. Jordan, Kausalität und Statistik in der modernen Physik (近代物理中的因果律與統計), Die Naturwissenschaften15(5), 105—110 (1927).
(14) W. Heisenberg, P. Jordan, Anwendung der Quantenmechanik auf das problem des Zeemaneffekts (量子力學在塞曼效應問題上的應用), Zeitschrift für Physik37, 263—277 (1927).
(15) P. Jordan, Anmerkung zur statistischen Deutung der Quantenmechanik (關於量子力學之統計詮釋的註解), Zeitschrift für Physik41(4—5), 797—800 (1927).
(16) P. Jordan, Über Wellen und Korpuskeln in der Quantenmechanik (量子力學中的波與粒子), Zeitschrift für Physik45, 766—775 (1927).
(17) P. Jordan, O. Klein, Zum Mehrkörperproblem der Quantentheorie (量子論中的多體問題), Zeitschrift für Physik45, 751—765 (1927).
(18) P. Jordan, Die Entwicklung der neuen Quantenmechanik (新量子力學的發展), Naturwissenschaften15, 636—649 (1927).
(19) W. Pauli, P. Jordan, Zur Quantenelektrodynamik ladungsfreier Felder (論無荷場的量子電動力學), Zeitschrift für Physik47, 151—173 (1928).
(20) P. Jordan, E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot (論泡利的等價禁制), Zeitschrift für Physik47, 631—651 (1928).
(21) P. Jordan, The present state of quantum electrodynamics, Physikalische Zeitschrift XXX, 700—712 (1929).
(22) P. Jordan, Über die Multiplikation quantenmechanischer Größen I (論量子力學量的乘法 I), Zeitschrift für Physik80, 285—291 (1933).
(23) P. Jordan, Über die Multiplikation quantenmechanischer Größen II (論量子力學量的乘法 II), Zeitschrift für Physik87, 505—512 (1934).
(24) P. Jordan, J. von Neumann, E. Wigner, On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism, Annals of Mathematics35(1), 29—64 (1934).
(25) P. Jordan, Die Neutrinotheorie des Lichtes (光的中微子理論), Zeitschrift für Physik93, 464—472 (1935).
(26) P. Jordan, Der Zusammenhang der symmetrischen und linearen Gruppen und das Mehrkörper‐problem (對稱群/線性群與多體問題之間的關係), Zeitschrift für Physik94, 531—535 (1935).
(27) P. Jordan, Zur Quantenelektrodynamik I, Zeitschrift für Physik95, 202—203 (1935). {在這個雜誌的網站上，這篇論文被遺漏了，前面一篇是198—201，後面一篇204—209。原因不明}
(28) P. Jordan, Zur Quantenelektrodynamik II, Über die Theorie der Paarerzeugung (量子電動力學II：對產生理論), Zeitschrift für Physik96, 163—166 (1935).
(29) P. Jordan, Zur Quantenelektrodynamik III. Eichinvariante Quantelung und Diracsche Magnetpole (量子電動力學III：規範不變數子化與狄拉克磁單極), Zeitschrift für Physik97, 535—537 (1935).
除了雜誌論文以外，約當關於量子力學還有不少專著。如前所述，約當作為庫朗的助手對希爾伯特、庫朗1924年的經典《數學物理方法I》有所參與，具體貢獻不明。兩年以後，約當參與撰寫的J. Franck，P. Jordan, Anregung von Quantensprüngen durch Stösse (量子躍遷的碰撞激發)，Springer(1926)出版。注意，此書的第一作者James Franck可是實驗物理大拿，是玻恩就教授職一定要捆綁到一起的好哥們，此人於1925年獲諾貝爾物理獎。約當同玻恩一起發展出了矩陣力學形式，1930年就合作出版了434頁的Max Born, Pascual Jordan, Elementare Quantenmechanik (基礎量子力學)，Springer(1930).這是矩陣力學的經典，感覺矩陣力學難學的朋友可以試試這本書，因為它會給你把矩陣和矩陣力學講透。這本書，應該是大部出自約當之手(參照玻恩後來與Wolff合寫《光學原理》，與黃昆合寫《晶格動力學理論》的軼事可知)。僅僅三年後，約當獨立出版了Pascual Jordan, Statistische Mechanik auf quantentheoretischer Grundlage (量子論基礎上的統計力學), Vieweg(1933)一書；六年後，出版了Pascual Jordan, Anschauliche Quantentheorie—Eine Einführung in die Moderne Auffassung der Quantenerscheinungen (直觀量子論—量子現象當代表述導論)，Springer(1936)一書。這不是後世人胡編亂湊的那種量子力學教科書，而是作者本人作為奠基人的該門學問的源頭活水。後來，約當還出版了Die Physik des 20. Jahrhunderts (二十世紀物理學)，Vieweg & Sohn(1936)；Das Bild der modernen Physik (近代物理影象)，Stromverlag (1947); Schwerkraft und Weltall (引力與宇宙)，Vieweg(1952)；Neuauflagen unter Atom und Weltall: Einführung in den Gedankeninhalt der modernen Physik (原子與宇宙之下的新支撐：近代物理思想內容紹介),Vieweg(1956)；Die weltanschauliche Bedeutung der modernen Physik (近代物理的世界觀意義)，Klinger Verlag(1971)，都是可見約當之物理學成就與功底的經典之作。
3約當對量子理論建立的貢獻
約當出道伊始，就基於其學位論文發表了兩篇關於黑體輻射的研究論文。黑體輻射研究是量子論的主題之一。接下來，約當迅速迎來了導師玻恩交給的一個大任務：發展矩陣力學。
在海森堡劃時代的把色散關係轉化為量子化形式的思想基礎上(這篇文章是海森堡起草了一個草稿，玻恩完成的)，玻恩認識到這是一個需要用矩陣語言的理論。玻恩先是找數學功底極好的前助手泡利幫忙，但被拒絕了，泡利甚至覺得玻恩的數學傾向的計劃會窒息海森堡的強大物理直覺(Born’s more mathematically inclined program could stifle Heisenberg’s powerful physical intuition)。這事兒要是發生在別人身上還好說，泡利一直就是物理學家裡的數學高人且是擅長用數學做物理研究的。這不應是泡利的學術立場，或許出自其他考量。於是，任務落到了剛畢業的約當的肩上。玻恩覺得海森堡的色散關係與矩陣有關，約當用了幾天時間證實了玻恩的這個猜想是對的。玻恩和約當一起忙活了兩個月，完成了標誌量子力學誕生的Born, Jordan, Zur Quantenmechanik (走向量子力學)一文。矩陣力學的初創內容就在這一篇裡。1926年，又完成了Born, Heisenberg, Jordan, Zur Quantenmechanik II(走向量子力學II)一文，即著名的三人論文，是把前一篇兩人工作的理論擴充套件到了多自由度情形。在這篇文章中，約當得到了黑體輻射漲落的矩陣力學推導，恰是對其學位論文工作的延續。注意，前一篇兩人文章並沒有“I”的標識，可能玻恩當時並沒意識到要寫續篇。矩陣力學的核心是非對易關係，。玻恩發現pq–qp的對角元是h/2πi，約當從運動方程出發證明了那些非對角項為0。因為這個工作，泡利曾調侃約當的名字應是“pq-qp Jordan”。玻恩和約當把稱為verschärfte Quantenbedingung (銳化的量子條件。猜測是相對於而言的)。後來，即1927年，海森堡的由得到的Unschärferelation ∆x∆p≥h/2，概念源頭上即來自於此，更遠一點的話可追溯到光譜學記號s, p, d, f …，這裡的s就取自scharf(銳)。Unschärferelation後來都籠統地歸於uncertainty principle(不確定性原理)。英文的uncertainty對應的是海森堡原文中三個“稀裡糊塗”概念之一的Unbestimmtkeit(不確定)，其他兩個是Ungenauigkeit(不精確)，Unsicherheit(拿不準)。
談論玻恩和約當對Zur Quantenmechanik(走向量子力學)一文各自的貢獻不是個好的話題。此處僅說說一個小細節。這篇構造矩陣力學的文章包含如下內容：(1)把海森堡的符號乘積詮釋為矩陣乘積；(2)得到公式；(3)在計算pq–qp的時間導數的基礎上證明了這個公式；(4)證明能量守恆；(5)證明玻爾的頻率條件；(6)電磁場量子化，其中將電磁場分量作為矩陣處理；(7)在這個量子化的基礎上證實海森堡的假設，即表示原子電偶極矩的矩陣元的平方對應躍遷機率。前兩條是玻恩的工作，後五條由約當完成。
認真的量子力學表述者會認識到，許多量子力學文獻中的的簡化表述是不合適的，為此會寫成或者，強調這裡是個矩陣關係表示式，右邊還有個單位矩陣。然而，必須指出，這樣的表達還缺失了很多內容，包括為了寫起來簡單兩側都約去了振盪因子ei2πνnm，而且這裡的矩陣須是無窮維矩陣，且指標必須從0開始(因為來自傅立葉分析)。
由，加上矩陣演算法，因此這意味著p→iℏ∂q。這是波動力學要用到的最關鍵的關係式，p→iℏ∂，是約當於1925年及時提出來的(筆者記得見到過這個說法，但此刻卻找不到這個原始出處了)。沒有這個關係式，哪有1926年薛定諤的方程用於氫原子問題，即把一個含項形式的方程轉化成一個具體的二階微分方程(有說法認為薛定諤得到動量算符表達是基於Hamilton—Jacobi理論)？
在Zur Quantenmechanik的兩篇文章中，約當已經提出場量應如量子量(Quantengröße)一樣要遵循非對易關係。在人們還半信半疑之時，約當已經在1927，1928年同Oscar Klein, Eugen Wigner, Wolfgang Pauli合作了系列文章，以場概念(Feldbegriff)代替粒子概念(Teilchenbegriff)作為基礎物件對待。粒子可以被產生和湮滅，場量子也可以被產生和湮滅，這樣就消解了波粒二象性。約當認為，量子地處理波的運動，類粒子行為就出現了(particle-like properties arise as a consequence of treating wave-motions quantum-mechanically)。約當在1929年哈爾科夫會議上的大會報告The present state of quantum electrodynamics是對量子場論發展第一階段的回顧。
約當接下來給物理學界展示了什麼是“手裡有金剛鑽，隨手能幹瓷器活兒”。1925年，電子自旋概念被提出，1926年約當與海森堡合作的論文即將自旋概念用到反常塞曼效應上。泡利1927年發表了“磁性電子的量子力學[Wolfgang Pauli，Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons，Zeitschrift für Physik43(9-10), 601—623(1927)]”一文，該文引入了泡利矩陣和泡利方程，收稿日期為1927年5月3日。約當緊接著就發表了Zur Quantenmechanik der Gasentartung (氣體退化的量子力學)一文，收稿日期為1927年7月7日。約當在這篇文章中即以含2×2矩陣的量子力學方程討論簡併氣體的問題。如果我們知道薛定諤1925年處理理想氣體量子化、提出氣-體(Gaskörper)概念的論文是他1926年波動力學論文的前奏，就能體會這篇論文的重要性了。這篇文章之所以一般的量子力學文獻不提起，我估計是因為它物理濃度太高且其中的數學不易看懂，比如其中式(9)可見基於兩向量構造的Clifford代數，而式(10)中的三個虛向量滿足四元數的乘法(圖2)。
圖2 約當Zur Quantenmechanik der Gasentartung一文pp.474—475上的截圖
基於對易關係以及諧振子模型，狄拉克引入了玻色子的產生算符a+與湮滅算符a，滿足關係[a, a+]=aa+-a+a=1。在同維格納合作的1928年文章中，約當他們引入了費米子產生算符與湮滅算符之間的反對易關係，{a, a+}=aa++a+a=1，由此給了泡利不相容原理以場論角度的把握(圖3)。
圖3 約當與維格納1928年論文p.641上的截圖
對易關係、反對易的關係聯絡著兩種量子統計。約當是物理思想與數學功底俱佳的研究者，哪會放過這裡面的深意。相對晚到的馮·諾伊曼提出了量子理論的公理化框架(axiomatic framework)，特別地，他把物理觀測量同作用於希爾伯特空間之間的厄米算符(observables as Hermitian operators acting in a Hilbert space)等價起來。約當放棄了希爾伯特空間那套背景，而是去公理化這個抽象代數結構。既然非交換代數能對應那麼多物理，約當於是想到放棄代數乘法的結合律[參見Pascual Jordan， Über eine Klasse nichtassoziative hyperkomplexer Algebra (一類非結合超代數), Göttinger Nachrichten, 569—575 (1932)；Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik (量子力學表示式的推廣可能性), Göttinger Nachrichten, 209—217 (1933)]，後來透過和維格納、馮·諾伊曼的多年合作得到了一個對易但非結合的結構，即約當代數。滿足對易關係AB=BA和約當恆等式(AB)(AA)=A(B(AA))的非結合代數為約當代數。此處數學、物理筆者不熟，打住。
還記得《數學物理方法I》的第一章是談論線性變換的吧？當量子力學誕生後，約當自然會注意到變換在這個理論中的角色。約當想到發展出量子力學的變換理論，一點兒也不奇怪。算符變換理論，可簡單理解為不依賴於基的抽象運算元表述。談論量子力學的變換理論的文獻會稱之為狄拉克—約當理論，因為狄拉克也獨立發展了變換理論(P. A. M. Dirac, The physical interpretation of the quantum dynamics, Proceedings of the Royal Society of LondonA113, 621—641 (1927))。約當在“量子力學的新築基”一文的腳註中，提請大家注意FritzLondon也部分地發現了本文中的內容(見Fritz London, Zeitschrift für Physik40, 193(1926))。
4錯失費米—狄拉克統計
費米—狄拉克統計是對遵循泡利不相容原理的粒子的量子統計。這個統計考慮的是用單粒子能量狀態來描述幾乎沒有相互作用的多粒子態、但沒有兩個粒子處於相同的那種多體狀態中的情形。據信，費米—狄拉克統計是1925年由約當先推匯出來的，並且他稱之為泡利統計[Engelbert Schücking. Jordan, Pauli, Politics, Brecht, and a Variable Gravitational Constant, Physics Today52(10), 26—31(1999)；Jürgen Ehlers, Engelbert Schücking. Aber Jordan war der Erste (約當才是第一個), Physik Journal1(11), 71—74(2002)]。在接下來的Eugen Wigner以及Oscar Klein的文章中也是稱為泡利統計的。當時約當把論文投給了Zeitschrift für Physik，而主編玻恩把稿件往手提箱裡一塞去了美國，等到玻恩半年後回來再拿出這篇論文，費米的論文已經發表了。這可是約當的“精神之子(Geisteskind)”，就這麼被命運之神給錯付了。在約當的《量子基礎上的統計力學》一書裡，約當會提到這個統計，但不提任何人的名字，其中悲憤，估計別人是無法體會的。後來有Stanley Deser者評論道：“如果不是玻恩的失誤，費米子應該叫‘約當子’ (…without Max Born’s faux pas the Fermions would have been called ‘Jordanions’)”.
關於耽擱了約當發現“泡利統計”一事，玻恩本人的敘述或許是可信的。“1925年12月我去美國MIT講座。約當交給了我一個準備在Zeitschrift für Physik上發表的工作。我當時沒時間讀，就隨手塞進我手提箱子裡，忘得一乾二淨。等我半年後回到德國，開啟手提箱，發現了躺在箱子底的那份工作。該工作包含現在稱為Fermi—Dirac統計的內容，在此其間由費米和狄拉克獨立發現。但是約當才是第一個(Im Dezember 1925 ging ich nach Amerika, um Vorlesungen am MIT zu halten. Jordan gab mir eine Arbeit zur Veröffentlichung in der Zeitschrift für Physik. Ich fand keine Zeit sie zu lesen, steckte sie in meinen Koffer und vergaß die ganze Geschichte. Als ich dann ein halbes Jahr später nach Deutschland zurück kam und auspackte, fand ich die Arbeit auf dem Boden des Koffers. Sie enthielt, was man jetzt die Fermi-Dirac-Statistik nennt. In der Zwischenzeit war sie von Enrico Fermi und unabhängig von Paul Dirac entdeckt worden. Aber Jordan war der Erste)”。
5作為量子生物學奠基人的約當
約當博學多識，有種說法，約當對專業逼仄的枷鎖毫不在意(die Fesseln fachwissenschaftlicher Enge nicht zu respektieren)。約當自幼喜歡生物學(薛定諤也是)，他大學的輔修專業就是動物學。約當發展了量子力學，也自動把量子力學用到了理解生命上面。1932年，約當發表了Die Quantenmechanik und die Grundprobleme der Biologie und Psychologie (量子力學與生物學/心理學基礎問題), Die Naturwissenschaften20, 815—821(1932)一文。量子生物學(Quantenbiologie)便是他的主意(參見Anschauliche Quantentheorie一書)。1941年，約當出版了Die Physik und das Geheimnis des organischen Lebens (物理學與有機生命的秘密)，Vieweg & Sohn(1941)一書。不知道有幾個量子生物學家同時具有量子力學(熟悉量子力學已是奢望，如約當一樣是量子力學奠基人更是歷史地不可能了)和生物學的背景，不知道有幾個量子力學背景的量子生物學家願意學會量子力學和生物學，也不知道有幾個生物學背景的量子生物學家願意學會生物學和量子力學。
6對約當的忽略
從筆者1984年開始接觸量子力學算起，在筆者見到的中文量子力學文獻中約當幾乎不曾被提及(應該是因為不知道)，而在筆者所見到的流行的英文、德文表述中對約當也是鮮有提及。約當很帥，約當口吃，但這似乎不是他被故意忽視的原因。至於他的政治觀點與社會活動問題，那是他創造量子力學和量子場論多年以後的事情，也不能解釋為什麼當時就備受忽視。約當的物理貢獻為什麼會被故意忽視，似乎是個謎。
為了讓大家對物理學圈和物理學史圈對約當的忽視有個感覺，我舉兩個當前的小例子作為證據。例一，我手邊有《泡利物理學講義》，其中卷六為Selected topics in field quantization (the MIT Press).講field quantization (Feldquantisierung，場量子化)，這是約當創立的學問，故約當是繞不過去的。約當與泡利交好多年，也是各自身上有值得“惺惺相惜的地方的一對兒”(圖4)。那麼，泡利或者講義的編者在這本書中提及約當多少次呢？一次，only once，在p.7上。令人哭笑不得的是，所給的參考文獻“P. Jordan, E.Wigner, Z. Physik45, 751(1928)”還是錯得離譜的。這是把P. Jordan, O. Klein, Zum Mehrkörperproblem der Quantentheorie (量子論中的多體問題), Zeitschrift für Physik45, 751—765(1927)與P. Jordan, E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot (論泡利的等價禁制), Zeitschrift für Physik47, 631—651(1928)這兩篇論文給混到一起去了。問題是，該書從1971年出版，影響遍及整個全世界，也不知道印了多少語種、多少版次，這個問題卻一直在，可見沒人在意約當的這兩篇文章。那可是用反對易關係表示泡利不相容原理的工作啊。
圖4 約當與泡利，1955年。看起來那時約當是很爽朗的一個人
例二事關P. Jordan, Zur Quantenelektrodynamik I (量子電動力學I), Zeitschrift für Physik95, 202—203(1935)一文。這是量子電動力學最原始的論文。然而，在筆者撰寫本文的此時刻(2024.08.26)，雜誌的網站上這篇文章是缺失的。對的，獨獨它是缺失的(圖5)。如果不是親自經歷，我也不信。
圖5 約當的Zur Quantenelektrodynamik I一文前後文在Zeitschrift für Physik雜誌的網站上都存在，獨獨它是缺失的
7多餘的話
從參與撰寫《數學物理方法I》開始，到發展出約當代數，兜兜轉轉，約當展示了他終究是個數學家的特質。他是一個懂量子力學的量子力學奠基人。狄拉克、泡利可與之相比擬。馮·諾伊曼也是這類人，但他錯過了創造量子力學的盛宴。約當還是有極高哲學素養的科學家，他後來的諸多著作無疑地證明了這一點。筆者提請讀者注意，對經典物理的量子論轉述(quantentheoretische Umdeutung der klassischen Physik)，是當初構造量子力學的方法，玻爾的對應原理，薛定諤、玻恩論述波函式詮釋時提到的對波函式之粒子意義上的轉述(Umdeutung)，皆與此有關。愚以為這裡也就隱藏著學習量子力學的訣竅，即學好經典物理，然後將相關知識作量子論的轉述(quantentheoretische Umdeutung)，然後就理解量子力學了。其實，早在1929年，年僅27歲的約當就指出，(未來)應在沒有經典對應這個柺杖的前提下一步到位地表述關於電的純量子理論(…und in einem Zuge, ohne klassisch-korrespondenzmaessige Kruecken, eine reine Quantentheorie der Elektrizitaet zu formulieren versuchen)，(量子場論)應該從自身找到一條新出路(muss aus sich selbst heraus neue Wegefinden)。你看他這話多得罪人，多狂妄。
約當是量子力學的奠基人之一，但他似乎對量子力學的態度很平淡，能很客觀地看待量子力學的威力與不足，從沒有什麼裝神弄鬼的言論。約當是熟悉[q,p]=iℏ的侷限的。滿足[A,B]=iℏ這種關係的一對變數被當作正則共軛的。在1927年的“論量子力學的新築基II”一文中，約當就指出哈密頓量H就沒有什麼正則共軛(各位讀者注意，因此所有的能量—時間不確定性關係都是硬性地瞎湊的)；角動量也不滿足這種關係，沒有什麼正則共軛問題。約當熟悉實驗物理(見與Franck合作的著作)，他早就指出，觀測不止是擾動待測量的系統，實際上更多地是產生實驗的結果，即我們自己造成了結果(Wir selber rufen die Tatbetände hervor，見於1932的文章)。約當這句話是對的，請參閱擾動理論處理的兩種情形，一種是哈密頓量中的相互作用項僅僅擾動了無相互作用時哈密頓量的能譜，一種是相互作用項的加入造成了新的哈密頓量，系統行為由新哈密頓量的能譜以及對應的狀態所描述(參見狄拉克《量子力學原理》)。後來，約當在On the process of measurement in quantum mechanics, Philosophy of Science16, 269—278(1949)一文中更是拒絕了“‘measurement’ is a fundamental concept which ought not to be analyzed”的傳統觀點。
在20世紀喧囂的塵埃早已落定的21世紀，愚以為量子力學應該以其固有的面目呈現於世人面前。所謂的固有面目，當以原始學術文獻為唯一依據。這一準則，適用於物理學的所有領域。物理學以其固有的面目、遵循其應當遵循的自然邏輯被呈現，更可見其渾然一體而又各呈精妙處，則其傳承也易，服務於人類也更有效。可以完全依照文獻，像狄拉克做量子力學那樣純粹地按照文獻中量子力學展開的真實過程去再現它，闡述它。
歷史的真相細節已不重要，但是學問細節本身重要。當我們真心學會了某一門學問，則歷史的真實細節便也會為我們所熟知。歷史的真相可以被遺漏甚至故意掩蓋、扭曲，但學術的邏輯自己會訴說。這是科學史獨特的地方，當然這裡所說的科學僅限於數學和物理。這是筆者關於科學史的一點淺見。
對於歷史上發生的事情，後人談論其合理與否已經於事無補，我們能做的就是接受既成事實。很多的情形，所謂的事實也是無從談起的，這是歷史(學)的無奈。所幸的是，一者科學自有其內在的邏輯，我們可以從科學的內在邏輯去部分校準歷史表述，雖然學問發生的邏輯不一定是學問自身的存在邏輯；二者科學是最注重紀錄以及傳承與表述的。尤其是自十九世紀中後葉以來的科學發展，其原始文獻堪稱完整。這是人類之大幸(我們中國人是否應該不遺餘力地建立一份複製？)。
紀念量子力學誕生一百週年
參考文獻
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《物理》50年精選文章
