在數學中，除數是執行除法運算時用來除以另一個數的數。如果有兩個整數 a 和 b（b ≠ 0），那麼 b 是 a 的除數，如果存在某個整數 c 使得 a = b × c。在這種情況下，b 能夠“整除” a，記作 b ∣ a。
當我們說 b 是 a 的除數時，也可以稱 b 為 a 的因子(因數)。這幾個術語在數學中可互換來使用，都描述了數 a 與數 b 之間的這種特定關係。
當我們在研究一個數，首先會想到它由哪些更小的因子乘積組成。這個過程稱為因數分解。這種分解，特別是分解到無法再分解的數——素數，揭示了一個數的許多重要性質。
比如 60，以下是所有可能的因子乘積組成方式：
請注意，由於 60 只有 2 的平方、3 的一次冪和 5 的一次冪作為素因子，所以不會有五因子或更多因子的組合，因為那會導致乘積超過 60。
探索數字的秘密：素因數分解
讓我們舉個更合適的例子來探索這個概念，下圖展示瞭如何找到 2520 的素因數分解的過程：
對於任何正整數 n，它都可以唯一地分解為素數的冪的乘積，這些素數稱為 n 的素因數。一旦我們獲得了 n 的素因數分解，就能夠輕鬆回答許多關於 n 的除數的問題。
如何確定一個數的所有除數
素因數分解為我們提供了一個優雅的方式來確定一個數的所有可能除數。例如，為了找到 2520 的除數，我們可以考慮其素數及其冪指數。任何能整除 2520 的數，其素因數只能包括 2、3、5 和 7。我們可以將這個數的素因數分解表示為：
在這裡，δ₁、δ₂、δ₃和δ₄是指數，代表對應素數可能出現的次數。針對每個素因子，這個次數可以是從0開始到該素數在2520中出現的最高次冪。對於素因數 2，有 4 種可能的值（0, 1, 2, 3）；對於素因數 3，有 3 種可能（0, 1, 2）；素因數 5 和 7 每個都有 2 種可能（0, 1）。因此，可以得出 2520 的除數總數：
(3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 × 2 = 48.
實際上可以嘗試將這些指數的所有不同組合列出來，下面是除數的列表：
可以從每個素因數的 0 次冪開始，一直到該素因數在 2520 中的最高次冪，為了方便，這裡列出除數的完整列表：
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 252, 280, 315, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1260, 2520
總結一下，一個數的因數可以透過將其素因數分解，然後列出這些素因數所有可能的組合以求得。2520 共有 48 個正因數。
更普遍的規律
這個方法不僅適用於 2520，它適用於任何正整數 n。如果知道了 n 的素因數分解式：
其中 p₁, p₂, ..., pᵣ 是 n 的素因數，a₁, a₂, ..., aᵣ 是對應的指數，那麼任何數 d 如果是 n 的除數，它的素因數分解也只能包含 p₁, p₂, ..., pᵣ 這些素數。
對於每個素因數 pᵢ，它在除數 d 中出現的次數最多與它在 n 中出現的次數相同。因此，對於 p₁，我們有 a₁ + 1 種選擇（從 0 到 a₁），對於 p₂，我們有 a₂ + 1 種選擇，以此類推。
由於每個素因數的每種可能的指數都可以與其他素因數的指數任意組合，我們可以得到一個公式來計算 n 的所有除數的數量，即 τ(n)：
透過上面這些內容，我們可以更深入地理解數的內在結構和它們的分解性質。這不僅僅是數學上的技巧，它反映了數學的一個核心思想：透過分解和構建來理解和發現數的本質特徵。
