整數和有理數一樣多嗎？
數學中最讓人著迷的一個問題就是“無限”。
當我們開始學會數數，就發現1、2、3……數字似乎永遠也數不完，這就是最簡單的無限。而當接觸到分數，比如1/2, 1/3, 2/3，這些數看起來似乎要比前者要多得多，那分數（有理數）真的要比整數更多嗎？
這個問題看似簡單，其背後卻隱藏著數學家們對“無限”的深刻思考，它其實是一個數學史上頗具爭議的經典話題，我們下面來仔細分析下。
什麼是整數和有理數？
為了討論整數和有理數的“大小”，得先弄清楚這兩個概念到底是啥。
整數就是我們最熟悉的數集了，通常用符號ℤ表示。它包括下面這些：
正整數：1, 2, 3, …負整數：-1, -2, -3, …零：0
有理數則是更大的一類數，記作ℚ，包括所有可以表示為分數的數。也就是p/q的形式，其中p和q是整數，且q ≠ 0。如果q為1的話，那也就是所有的整數了。
這樣，有理數不僅包含所有整數，還包含分數和有限小數、無限迴圈小數，例如：
分數：1/3, -7/8小數：2.5, -0.333…
如此看來，有理數一定要比整數多得多吧？不過……
無限的大小該怎麼比較？
在日常生活中，我們會用“數量”來比較大小，比如一堆、一包糖果、甚至一盤瓜子，仔細數一數就知道哪個多。但是在數學中，比較兩類數的“大小”，就沒法直接用“數一數”的方法了。
為什麼？因為整數和有理數都是無限多的，那就完全沒法數清楚。
數學家們為此發明了一套新方法，叫做一一對應法。它的核心思想是：
如果可以把兩類數一一配對，配對後沒有遺漏或重複，就說明它們的“大小”是一樣的。整數和有理數一樣多嗎？
現在，就來看看整數和有理數的“大小”到底是不是一樣的。
毫無疑問，整數集ℤ是無限的：我們可以從0開始，1, 2, 3, …一直往上數，也可以從0往負方向數，-1, -2, -3, …，沒有盡頭。所以整數是一個無限集
有理數顯然也是無限的，因為整數本身就是有理數的一部分，而分數更是無窮無盡。
整數和有理數的“大小”：能一一對應嗎？
既然“數一數”行不通，我們就要用一一對應法。下面分別來看整數和有理數的情況。
有理數看起來比整數多得多，但實際上，有理數和整數的“大小”是一樣的。人們找到一個巧妙的方法，把有理數和整數一一對應起來。
將有理數排列成一個表
首先，把所有的正有理數寫成分數的形式，並按照分子和分母的絕對值排列成一個無窮大的表格：
這個表格包含了所有正有理數。如果再加上負有理數（例如 -1/2, -3/4）以及0，就可以得到整個有理數集ℚ。
用“對角線法”一一對應
為了把有理數和整數配對，我們可以按照“對角線法”來排序：
從(1/1)開始，沿對角線移動：1/1 → 2/1 → 1/2 → 3/1 → 2/2 → 1/3 → 4/1 → 3/2 → 2/3 → 1/4 → …跳過重複的分數，比如2/2和1/1，只保留其中一個。
這樣，我們就能列出一個有理數的序列：1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, …
接下來，我們給每個有理數分配一個整數：
1對應1/12對應2/13對應1/24對應3/15對應1/36對應4/17對應3/28對應2/3
透過這種方法，就能把有理數和整數一一配對，不會有沒有遺漏或重複。這樣從數學上來說，有理數和整數是一樣多的
數學家康托爾透過研究集合的基數，提出了“可數無限集”的概念：如果一個無限集合可以與自然數（或整數）一一對應，那麼它的基數是ℵ₀（阿列夫零）。整數和有理數的基數都是ℵ₀，因此從數學上看它們的“大小”是一樣的。
整數和有理數的比較讓我們看到，數學中的“大小”並不能直觀得到。而透過一一對應法，數學家重新定義了無限集的“大小”，並揭示了數學中隱藏的層次結構——無限的“大小”其實有不同層次。
在數學史上，這些關於無限的研究不僅改變了人們對數學的認識，也深刻影響了哲學、物理學等領域。它告訴我們，數學並不僅僅是公式和計算，更是人類思維的極限探險之旅。
