大資料文摘授權轉載自zzllrr小樂
播客主：Steven Strogatz
譯者：zzllrr小樂
被稱為“數學莫扎特”的陶哲軒在 2007 年寫了一篇文章，探討“好”的數學研究的共同要素。近日，這位菲爾茲獎得主與量子雜誌播客《為何之樂The Joy of Why》主持人一起重新審視這個話題。
我們傾向於認為數學純粹是邏輯性的，但數學的教學、價值、用途和運作方式充滿了細微差別。那麼什麼是“好”數學呢？2007 年，數學家陶哲軒 為《美國數學會公報》（Bulletin of the American Mathematical Society）撰寫了一篇文章，試圖回答這個問題。如今，作為菲爾茲獎、數學突破獎和麥克阿瑟獎學金的獲得者，陶是當今最受尊敬、最多產的數學家之一。在本集中，他與我們的主持人、數學家史蒂文·斯特羅加茨 (Steven Strogatz，以下簡稱SS) 一起重新審視好數學的構成。
音訊可以在Apple播客、Spotify、Google播客、Stitcher、TuneIn或您最喜歡的播客應用程式，以及量子雜誌網站收聽。
SS：早在2007年10月，當時第一代iPhone仍然是熱門商品，股市在經濟大衰退之前也處於歷史最高點，加州大學洛杉磯分校 (UCLA) 數學教授特倫斯·陶 (Terence Tao) 決心回答一個長期以來數學家爭論的問題：到底什麼是好的數學？
與嚴謹有關嗎？優雅？現實世界的實用性？陶寫了一篇非常深思熟慮、慷慨大方、我甚至可以說是敞開心扉的文章，講述了數學可以發揮的所有作用。但現在，15年過去了，我們是否需要重新思考什麼是好的數學呢？
我是 Steve Strogatz（史蒂文·斯特羅加茨），這是量子雜誌的播客“The Joy of Why”，我和我的搭檔 Janna Levin 輪流探索當今數學和科學中一些尚未解答的最大問題。
今天，陶哲軒本人將重溫數學的永恆問題。陶教授撰寫了 300 多篇研究論文，涉及的數學領域非常廣泛，包括調和分析、偏微分方程、組合數學、數論、資料科學、隨機矩陣等等。他被稱為“數學界的莫扎特”。作為菲爾茲獎、數學突破獎、麥克阿瑟獎和許多其他獎項的獲得者，這個綽號當然是當之無愧的。
陶，歡迎來到“為何之樂”（The Joy of Why）。
陶：很高興來到這裡。
SS：我很高興能夠與您討論是什麼讓某些型別的數學研究變得更好這個問題。我清楚地記得 2007 年翻閱《美國數學學會公報》時，看到了您為我們提出的關於這個問題的文章 https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0702396 。這是所有數學家都在思考的問題。但對於那些可能不太熟悉的人來說，您能告訴我們，您是如何想到這個問題的嗎？你當時是如何定義好的數學的？
陶：好的。那個實際上是我的一個懇求。所以當時的通報編輯讓我投一篇文章。我想我作為一名學生對數學是什麼有一個非常天真的想法。我有一種想法，認為有某個老人委員會可以為人們解決問題。作為一名研究生，這對我來說有點震驚，因為我意識到實際上沒有這個中央權威來解決問題，而人們是進行自我指導的研究的。
我不斷地去演講，聽其他數學家如何談論他們覺得令人興奮的事情以及是什麼讓他們對數學感到興奮，以及每個數學家都有不同的處理數學的方式。比如，有些人會追求應用，有些人是為了美，有些人只是為了解決問題。他們想要解決問題，並且會專注於最困難、最具挑戰性的任務。有些人會注重技術；有些人會嘗試讓事情儘可能優雅。
但是，當聽這麼多不同的數學家談論他們認為數學中有價值的東西時，令我震驚的是，儘管我們對於好的數學應該是什麼樣子都有不同的理想，但他們都傾向於收斂到同一件事。
如果一段數學真的很好，追求美的人最終會遇到它。那些追求、重視技術力量或應用的人最終會落在它上面。
尤金·維格納（Eugene Wigner）有一篇關於數學在物理科學中不合理的有效性的非常著名的文章 https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102 大約一個世紀前，他剛剛觀察到數學的某些領域——例如黎曼幾何、彎曲空間的研究——最初只是數學家的純粹理論練習，試圖證明平行假設等等事實證明，這正是愛因斯坦、龐加萊和希爾伯特描述廣義相對論數學所需要的。這只是一個正在發生的現象。
因此，數學家認為在智力上有趣的東西最終在物理上也很重要，而不僅僅是停留在數學上。但即使在數學領域，數學家認為優雅的學科也恰好提供了深刻的見解。
我的感覺是，那裡有一些柏拉圖式的好數學，而我們所有不同的價值體系只是獲取客觀好東西的不同方式。
SS：這非常有趣。作為一個傾向於柏拉圖式思維的人，我很想同意。雖然聽到你這麼說我有點驚訝，因為我本以為你最初的目的似乎是，對此有很多不同的觀點。不過，這是一個有趣的事實，一種經驗事實，我們確實在什麼是好的或什麼是不好的問題上達成了一致，儘管正如你所說，我們來自許多不同的價值觀。
陶：對。收斂可能需要時間。例如，肯定有一些領域，用一種指標來衡量，它們看起來比其他領域要好得多。也許他們有很多應用，但它們的表示非常糟糕。或者是非常優雅但在現實世界中還沒有很多好的應用的東西。但我確實覺得最終它會收斂。
SS：好吧，讓我問你一下與現實世界的接觸點。這是數學中一個有趣的張力。而且，作為小孩子，比方說，當我們第一次學習幾何時，你可能會認為三角形是真實的，或者圓形或直線是真實的，並且它們可以告訴你你看到的矩形形狀在世界各地的建築物中，或者測量員需要使用幾何學。畢竟，“幾何”（geometry）這個詞來自於地球的測量。因此，曾經有一段時間幾何學是經驗性的。
但我想問你的是約翰·馮·諾依曼發表的評論。因此，對於任何不熟悉的人來說，馮·諾依曼本人就是一位偉大的數學家。他在這篇文章“數學家” https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Von_Neumann_Part_1/ 中發表了關於數學與經驗世界、現實世界之間的關係的評論，他大致說數學思想起源於經驗，但在某些時候，一旦你獲得了數學思想，這個學科就開始擁有自己的生命。然後它更像是一件創意藝術品。審美標準變得重要。但他說這會帶來危險。他說，當一個主體開始與其經驗來源相距太遠時，尤其是在第二代或第三代中，該主體有可能遭受過多的抽象近親繁殖，並面臨退化的危險。
對此有什麼想法嗎？我的意思是，數學是否必須與其經驗來源保持聯絡？
陶：是的，我認為它確實必須接地氣。當我說，從經驗上講，所有這些不同的數學方法確實會趨同，這只是因為——這隻有在主體健康時才會發生。所以，好訊息是通常都是這樣。
但是，例如，在所有其他條件相同的情況下，數學家更看重簡短的證明而不是長的證明。但我們可以想象人們會走極端，比如，數學的一個子領域痴迷於使證明儘可能短，並擁有這些極其不透明的深層定理的兩行證明。他們把它變成了一種競賽，然後它變成了一種深奧的遊戲，然後你就失去了所有的直覺。你可能會失去更深入的理解，因為你太痴迷於讓所有的證明儘可能簡短。現在，這在實踐中實際上並沒有發生。但這只是一個理論上的例子，我認為馮·諾依曼也提出了類似的觀點。
在六七十年代，有一個數學時代，抽象在簡化和統一許多以往非常經驗化的數學方面取得了巨大進步。特別是在代數中，人們意識到，數字和多項式以及許多其他以前被單獨處理的物件，你都可以將它們視為同一代數類的成員，在本例中是一個環（ring）。
無論是拓撲空間還是向量空間，數學上的許多進步是透過找到正確的抽象來取得的，並證明具有普遍性的定理。這有時就是我們所說的數學布林巴基時代。它確實離接地氣有點太遠了。
當然，我們在美國經歷了整個新數學事件，教育工作者試圖以布林巴基風格教授數學，但最終意識到這不是適合那種水平的教學法。
但現在鐘擺已經向後擺動了很多。這個學科已經相當成熟了，數學、幾何、拓撲等各個領域，我們都有令人滿意的形式化，我們知道什麼是正確的抽象。現在該領域再次關注互連和應用。現在它與現實世界的聯絡更加緊密。
我的意思是，不僅僅物理學，是一種傳統的聯絡，計算機科學、生命科學、社會科學都是。隨著的興起，現在幾乎所有人類學科都可以在某種程度上被數學化。
SS：我對您剛才使用的有關“互連”的詞非常感興趣，因為這似乎是我們討論的中心點。你在文章中提到，除了這些，你所謂的關於優雅的“區域性”標準，或者現實世界的應用，或者其他什麼，你還提到了好數學的“整體”方面：好的數學與其他好的數學相聯絡。
這幾乎是它之所以好的關鍵，因為它與其他部分整合在一起。但這很有趣，因為這聽起來幾乎像是迴圈推理：好的數學是與其他好的數學相關的數學。但這是一個非常強大的想法，我只是想知道你是否可以進一步擴充套件它。
陶：好的，所以，我的意思是，數學是什麼——數學所做的一件事是，它建立了非常基本和基礎的聯絡，但如果你只從表面上看的話，這些聯絡並不明顯。一個非常早期的例子是笛卡爾發明的笛卡爾座標，它在幾何學（對點、線和空間物件的研究）和數字、代數之間建立了基本聯絡。
因此，例如，你可以將圓視為幾何物件，但也可以將其視為方程：x² + y² = 1 是一個圓的方程。在當時，這是一個非常革命性的聯絡。古希臘人將數論和幾何視為幾乎完全脫節的學科。
但對於笛卡爾來說，存在著這種根本的聯絡。現在我們教數學的方式已經將它內化了。如果你遇到幾何問題，你會用數字來解決它，這已經不足為奇了。或者，如果你對數字有疑問，你可以用幾何來解決它。
這在某種程度上是因為幾何和數字都是同一數學概念的各個方面。我們有一整個領域稱為代數幾何（algebraic geometry），它既不是代數也不是幾何，但它是一個統一的學科，研究物件，你可以將其視為幾何形狀，如直線和圓等，也可以將其視為方程。
但實際上，這是我們研究的兩者的整體結合。隨著學科的深入，我們意識到，在某些方面，這比單獨的代數或幾何更為基礎。因此，這些聯絡正在幫助我們發現某種真正的數學，而最初，不知何故，我們的實證研究只為我們提供了該學科的一個角落。
有一個著名的大象寓言，我忘了出處（應出自中文成語“盲人摸象”，zzllrr小樂譯註），如果你有……有四個盲人，他們發現了一頭大象。其中一個人摸到了大象的腿，他們想：“哦，這個，太粗糙了。它一定像一棵樹什麼的。”
其中一個人摸到了象鼻，直到很久以後，他們才看到有一個大象物體正在解釋他們所有單獨的假設。是的，所以我們一開始都是盲目的。我們只是看著柏拉圖洞穴上的影子，後來才意識到——
SS：哇，你講的這個非常有哲理。這是個事兒。我現在無法抗拒：如果你要開始談論大象和盲人，這表明你認為數學就在那裡——它就像大象，而我們是盲人……或者，我們正在試圖看到一些獨立於人類而存在的東西。這真的是你所相信的嗎？
陶：當你做好的數學時，它不僅僅是在到處亂推符號。你確實覺得有一些你想要理解的實際物件，而我們擁有的所有方程都只是該物件的近似或陰影。
你可以爭論什麼是現實等等的哲學觀點。我的意思是，這些是你可以實際觸控到的東西，而且數學上越真實的東西，有時它們看起來就越不實在。正如你所說，幾何學最初是關於物理空間中的物體的非常有形的東西，你實際上可以構建一個圓形和一個正方形等等。
但在現代幾何中，我們在更高的維度中工作。我們可以談論離散幾何形狀，各種古怪的拓撲結構。而且，我的意思是，儘管不再測量地球，但這門學科仍然值得被稱為幾何學。古希臘語詞源非常過時，但其中肯定有一些東西確實如此。無論你想稱之為多真實。但我想重點是，為了真正做數學的目的，相信它是真實的會有所幫助。
SS：是的，這不是很有趣嗎？確實如此。這似乎是數學史上根深蒂固的事情。阿基米德（Archimedes ）寫給他的朋友，或者至少是同事埃拉托色尼（Eratosthenes）的一篇文章讓我震驚。
我們現在談論的是公元前 250 年。他說，他發現了一種求出我們所說的拋物線段面積的方法。他畫了一條拋物線，用一條與拋物線軸成斜角的線段穿過它，然後算出這個面積。他得到了一個非常漂亮的結果。但他對埃拉托色尼說了一些話，比如“這些結果一直是圖形中所固有的。”它們就在那裡。它們只是在等他找到。
這不像是他創造了它們。這不像詩。我的意思是，實際上這很有趣，不是嗎？很多偉大的藝術家——米開朗基羅（Michelangelo）都談到過將雕像從石頭上釋放出來，就好像它一開始就在那裡一樣。聽起來你和許多其他偉大的數學家——正如你所說，都相信這個想法非常有用，它就在那裡等待著我們，等待著正確的頭腦去發現它。
陶：嗯，我認為其中的一個表現是，當它們第一次被發現時通常很難解釋的想法，它們會被簡化。我的意思是，某些事情一開始看起來非常深奧或困難的原因往往是你沒有正確的標記符號。
比如我們現在有了十進位制來運算元字，非常方便。但在過去，我們有羅馬數字，然後還有更原始的數字系統，如果你想做數學，這些系統真的非常難以使用。
歐幾里得的《幾何原本》（Elements）——這些古代文獻中的一些論證，比如，歐幾里得《幾何原本》中有一個定理，我認為它被稱為“愚人橋”之類的東西。就像這樣的陳述，比如一個等腰三角形，兩個底角相等。這就像現代幾何文獻中具有正確公理的兩行證明。但歐幾里得卻採用了可怕的方式來證明它。這就是古典時代許多幾何學學生完全放棄數學的地方。
SS：確實如此。（笑）
陶：但是，我們現在有更好的方法來做到這一點。我們在數學中看到的複雜性常常是我們自身侷限性造成的。所以，隨著我們成熟，事情變得更簡單。因此感覺更加真實。我們看到的不是人造物。我們看到的是本質。
SS：好吧，回到你的文章：當你寫這篇文章時，當時是你職業生涯的早期，不是最開始。為什麼你當時覺得嘗試定義什麼是好的數學很重要？
陶：我認為……到那時，我已經開始為研究生提供建議，我注意到，對於什麼是好的、什麼是不好的，存在一些誤解。而且我也在和不同領域的數學家交流，每個人在數學上看重的領域似乎和其他人不一樣。但不知何故，我們都在研究同一學科。
有時有人會說一些讓我不舒服的話，比如，“這個數學沒有應用，因此它沒有價值。”或者“這個證明太複雜了；因此它沒有價值，”或者諸如此類。或者反過來，“這個證明太簡單了；因此它不值得……”。就像，有時我會遇到一些勢利之類的東西。
根據我的經驗，當我理解不同的觀點、不同領域的人思考數學的不同方式並將其應用於我關心的問題時，最好的數學就會出現。因此，我關於如何正確使用數學、如何運用數學的經驗與這些非常不同——有點像“做數學的唯一正確方法”。
我覺得必須以某種方式提出這一點。數學確實有多種方法，但數學仍然是統一的。
SS：這非常有啟發性，因為我想知道，在我的介紹中，我提到了你探索過的許多不同的數學分支，但我甚至沒有包括其中一些。就像，我記得幾年前，您關於流體動力學中這個謎團的工作，關於我們認為的某些方程是否可以很好地近似水和空氣的運動。我不想講太多細節，只是想說，在這裡，人們認為你在做數論或調和分析，突然間你正在研究流體動力學問題。我意識到這是偏微分方程。但儘管如此，你的興趣廣度似乎與你接受不同見解、好數學的所有不同做法中的有價值想法的廣度有關。
陶：我忘了是誰說的，但是數學家有兩種型別：刺蝟和狐狸。狐狸是對一切事物都略知一二的人。刺蝟是一種非常非常瞭解一件事的生物。兩者都不比另一個更好。他們相輔相成。我的意思是，在數學領域，你需要的是某個子領域真正的深度領域專家，並且他們對某一學科瞭如指掌。你需要能夠看到一個領域與另一個領域之間聯絡的人。所以我肯定是一隻狐狸，但我和很多刺蝟一起工作。我最引以為傲的工作往往就是這樣的合作。
SS：哦，是的。他們意識到自己是刺蝟了嗎？
陶：嗯，好吧，隨著時間的推移，角色會發生變化。比如有其他合作，我是刺蝟，其他人是狐狸。這些都不是永久性的——這些並不在你的 DNA 中。
SS：啊，好觀點。我們可以採用——我們可以穿兩件斗篷。
那麼，當時那篇文章有沒有回應呢？人們對你說過什麼話嗎？
陶：總的來說，我得到了相當積極的回應。我的意思是，我認為《AMS美國數學會公報》並不是一份廣泛傳播的出版物。而且，我並沒有說任何太有爭議的話。另外，這種早於社交媒體的形式，我想也許有一些數學部落格繼承了它，但沒有 Twitter。沒有什麼可以讓它像病毒一樣傳播。
是的，我也認為，一般來說，數學家不會把太多的時間和智力資本花在猜測上。我的意思是，還有另一位名叫 Minhyong Kim 的數學家，他有一個非常好的比喻，對於數學家來說，信譽就像貨幣，就像金錢。如果你證明定理並證明你瞭解這個學科，那麼你就在銀行中積累了某種信譽貨幣。一旦你有了足夠的貨幣，你就可以透過有點哲學性的方式進行一些推測，並說出可能是真實的而不是你實際上可以證明的東西。
但我們往往比較保守，我們不希望銀行賬戶出現透支。你不希望你的大部分寫作都是推測性的，而只希望百分之一的內容能夠真正證明某些事情。
SS：很公平。從那時起已經過去了很多年。我們在說啥啊？已經超過15年了。
陶：哦，是的，時間過得真快。
SS：你的觀點改變了嗎？有什麼需要我們修改的嗎？
陶：嗯，數學文化正在發生很大的變化。我已經對數學有了一個廣闊的視野，現在我有了更廣闊的視野。
所以，一個非常具體的例子是：計算機輔助證明在2007年仍然存在爭議。有一個著名的猜想，稱為開普勒猜想，它涉及在三維空間中堆積單位球的最有效方法。有一個標準的堆積，我認為它被稱為立方中心堆積或其他東西，開普勒推測這是最好的。
這個問題最終得到了解決，但證明過程需要計算機輔助。這是相當複雜的，Thomas Hales 最終實際上建立了一種完整的計算機語言來正式驗證這個特定的證明，但它沒有被接受為真正的證明很多年了。但它說明了需要計算機輔助來驗證的證明概念是多麼有爭議。
從那以後的幾年裡，出現了很多其他證明的例子，人類可以將複雜的問題簡化為仍然需要計算機來驗證的問題。然後計算機繼續驗證它。我們已經制定了一些關於如何負責任地做到這一點的實踐。如何釋出程式碼和資料以及檢查新開源事物的方法等等。現在，計算機輔助證明已被廣泛接受。
現在，我認為，下一個文化轉變將是人工智慧生成的證明是否會被接受。目前，人工智慧工具還沒有達到可以生成證明來真正推進數學問題的水平。也許本科水平的家庭作業，AI可以處理，但研究數學，AI還沒有達到那個水平。但在某個時候，我們將開始看到人工智慧輔助的論文問世，並且將會出現一場爭論。
我們的文化在某些方面發生了變化……早在 2007 年，只有一小部分數學家在出版前提供了他們的預印本。作者會小心翼翼地保護他們的預印本，直到收到期刊的錄用通知。然後他們可能會分享。
但現在每個人都將論文放在公共伺服器上，例如 arXiv https://arxiv.org/archive/math 。關於論文想法的來源，影片和部落格文章的開放程度要高得多。因為人們意識到，這就是讓工作更有影響力、更有感染力的原因。如果你試圖不公開你的作品並且對此非常保密，它就不會引起轟動。
數學變得更加協作。50年前，我想說大多數數學論文都是單一作者。現在，大多數論文肯定是兩個或三個或四個作者。我們才剛剛開始看到像科學領域那樣的大型專案，比如數十、數百人的合作。這對數學家來說仍然很難做到，但我認為我們會實現這一目標。
與此同時，我們正變得更加跨學科。我們正在與其他科學進行更多的合作。我們正在數學領域之間工作。由於網際網路，我們可以與世界各地的人們合作。所以，我們做數學的方式肯定正在改變。
我希望將來我們能夠更多地利用業餘數學社群。還有其他領域，例如天文學，天文學家充分利用業餘天文學社群，例如，很多彗星都是由業餘愛好者發現的。
但是數學家……數學中有一些孤立的領域，例如密鋪（tiling 平鋪）、二維密鋪或者新的素數記錄。在一些非常精選的數學領域，業餘愛好者確實可以做出貢獻，並且他們受到歡迎。但有很多障礙。在數學的大多數領域，你需要大量的培訓和內化的或傳統的智慧，我們不能做到眾包。但這種情況將來可能會改變。也許人工智慧的影響之一是讓業餘數學家能夠為數學做出有意義的貢獻。
SS：這非常有趣。
那麼業餘愛好者可能會在AI的幫助下，要麼提出新的好問題，要麼幫助對現有問題進行好的探索，諸如此類？
陶：有很多不同的方式——是的。例如，現在有一些專案可以形式化大定理的證明，稱為形式化證明助手，它們就像計算機語言一樣，可以 100% 驗證定理是否正確以及是否已被證明。這實際上使得數學領域的大規模合作成為可能。
因此，在過去，如果你與其他 10個人合作證明一個定理，並且每個人都貢獻一步，那麼每個人都必須驗證其他人的數學。因為數學的特點是，如果其中一個步驟出現錯誤，整個就會崩潰。
所以你需要信任，這實際上阻礙了數學領域的大規模合作。但現在已經有一些成功的例子，真正的大定理被形式化，有一個巨大的社群，他們並不互相認識，並不互相信任，但他們透過上傳到一些 GitHub倉庫或諸如證明中各個步驟的單獨證明之類的東西。而且形式化證明軟體會驗證一切，因此你無需擔心信任問題。所以說，我們正在啟用新的協作模式，這是我們過去從未見過的。
SS：聽到你的願景真的很有趣，陶。這是一個令人著迷的想法。你不會聽到“公眾數學家”（citizen mathematician）這個詞。你聽說過公眾科學（citizen science），但為什麼沒有聽說過公眾數學呢？
但我只是想知道，是否有您擔心的趨勢，例如計算機輔助證明或人工智慧生成的證明？我們會知道某些結果是正確的，但我們不明白為什麼嗎？
陶：這是個問題。我的意思是，甚至在人工智慧出現之前，這就已經是一個問題了。因此，在很多領域，某個學科的論文越來越長，達到數百頁。我希望人工智慧實際上可以反過來幫助簡化，它可以解釋和證明。
因此，已經有了實驗性軟體，例如，如果你採用已經形式化的證明，實際上可以將其轉換為互動式人類可讀文件，你可以在其中獲得證明並看到高階步驟，如果有一個句子你不明白你可以雙擊它，它會展開成更小的步驟。我認為很快你就可以讓一個AI聊天機器人坐在你旁邊，當你完成證明時，它們可以回答問題，並且可以像作者一樣解釋每一步。我認為我們已經非常接近這個目標了。
有人擔心。我們必須改變我們教育學生的方式，特別是現在我們佈置作業等諸多傳統方式，我們幾乎已經到了這些人工智慧工具可以立即回答我們許多標準考試問題的地步。因此，我們需要教給學生新的技能，比如如何驗證人工智慧生成的輸出是否正確以及如何獲得別的觀點。
我們可能會看到數學更具實驗性的一面的出現。數學幾乎完全是理論性的，而大多數科學都包含理論和實驗部分。我們最終可能會得到最初只能由計算機證明的結果，正如你所說，我們對其不明白。但一旦我們有了人工智慧、計算機生成的證明提供的資料，我們就可以進行實驗。
現在有一些實驗數學。人們確實會研究各種事物的大資料集，比如橢圓曲線。但未來它可能會變得更大。
SS：哎呀，你的觀點非常樂觀，這對我來說太棒了。這不像過去的黃金時代。如果我沒聽錯的話，您認為前面還有很多非常令人興奮的事情。
陶：是的，很多新技術工具都非常強大。我的意思是，人工智慧總體上有許多複雜的優點和缺點。在科學之外，經濟、智慧財產權等也可能受到很多幹擾。但在數學領域，我認為好與壞的比例比許多其他領域要好。
而且，網際網路確實改變了我們做數學的方式。我與很多不同領域的很多人合作。如果沒有網際網路我就無法做到這一點。事實上，我可以訪問維基百科或其他任何東西並開始學習一個學科，我可以給某人發電子郵件，我們可以線上協作。如果我必須做一些老式的事情，我只能與我部門的人交談並使用物理郵件處理其他事情，我就無法像現在一樣進行數學計算。
SS：哇，好吧。我必須強調你剛才所說的話，因為我從來沒有想過一百萬年後我會聽到這樣的話：陶哲軒閱讀維基百科來學習數學？
陶：作為一個起點。我的意思是，它並不總是維基百科，而只是為了獲取關鍵字，然後我會進行更專業的搜尋，例如 MathSciNet https://mathscinet.ams.org/mathscinet/publications-search 或其他一些資料庫。
SS：這不是批評。我的意思是，我也做同樣的事情。如果對維基百科上的數學有任何批評，我認為也許是有時它對於讀者來說有點太高階了，儘管不總是如此。我的意思是，不同文章之間的差異很大。但這很有趣。我喜歡聽這個。
陶：我想表達的是，你必須能夠審查這些工具的輸出。我之所以可以使用維基百科來做數學，是因為我已經瞭解了足夠多的數學知識，我可以聞到維基百科中的數學內容是否可疑。它可能會獲得一些來源，其中一個來源將比另一個來源更好。我認識作者，並且知道哪一篇參考文獻對我來說更適合。如果我使用維基百科來了解一個我沒有經驗的學科，那麼我認為它更像是一個隨機變數。
SS：嗯，我們已經討論了很多關於什麼是好的數學，以及新的好數學的可能的未來。但也許我們應該解決這個問題：為什麼這很關鍵？為什麼好的數學很重要？
陶：嗯，首先，我想說，為什麼我們有數學家？為什麼社會重視數學家併為我們提供資源來做我們所做的事情？這是因為我們確實提供了一些價值。我們可以將其應用到現實世界中。這是智力上的興趣，我們發展的一些理論最終提供了對其他現象的洞察。
並不是所有的數學都具有同等的價值。我的意思是，你可以計算越來越多的圓周率位數，但到達某一點之後，你什麼也學不到。任何學科都需要某種價值判斷，因為你必須分配資源。那裡有很多數學知識。哪些進展你想強調和宣傳並讓其他人知道，哪些可能應該安靜地記錄在日記中的某個地方？
即使你認為一個學科是完全客觀的，並且只有正確或錯誤，我們仍然必須做出選擇。只是因為時間是有限的資源。注意力是一種有限的資源。金錢是一種有限的資源。因此，這些始終是重要的問題。
SS：嗯，有趣的是，你提到了宣傳，因為我認為這是你工作的一個顯著特徵，你還付出了很多努力，透過你的部落格、透過你寫的各種文章讓數學公開。我記得討論過您在《美國科學家》（American Scientist）雜誌上寫的一篇關於普遍性和這一想法的文章。為什麼讓數學公開並易於理解很重要？我的意思是，你想做什麼？
陶：這是自然發生的。在我職業生涯的早期，全球資訊網還很新，數學家們開始擁有包含各種內容的網頁，但沒有太多的中央目錄。在Google等出現之前，實際上很難找到個人資源。
因此，我開始在我的網頁 https://terrytao.wordpress.com 上建立一些小目錄。我還會為自己的論文製作網頁，並發表一些評論。最初更多是為了我自己的利益，只是作為一個組織工具，只是幫助我找東西。作為副產品，它向公眾開放，但我是我自己的網頁的主要消費者，或者至少我是這麼認為的。
但我記得很清楚，有一次我寫了一篇論文，把它放在我的網頁上，我有一個小的子頁面，名為“有什麼新鮮事？”我只是說：“這是一張紙。這裡面有一個問題我至今無法回答，也不知道如何解決。”我剛剛發表了這個評論。然後大約兩天後，我收到一封電子郵件，上面寫著：“哦，我只是在檢視你的主頁。我知道這個問題的答案。有一篇論文可以解決你的問題。”
首先，這讓我意識到人們實際上正在訪問我的網頁，而我並不真正知道。但與社群的互動確實可以幫助我直接解決我的問題。
網路中有一條稱為梅特卡夫定律（Metcalfes law）的定律，如果有 n 個人，並且他們都互相交談，那麼他們之間大約有 n²個連線。因此，受眾越多，論壇越大，每個人都可以與其他人交談，可以建立的潛在連線就越多，好事也就越多。
我的意思是，在我的職業生涯中，我所做的很多發現，或者我所建立的連線都是因為意想不到的連線。我的整個職業經歷是，越多的連線就等於越好的事情發生。
SS：我認為你剛才提到的一個很好的例子，但我很想聽你談論它，就是你與資料科學領域的人們建立的聯絡，他們對醫學共振相關問題感興趣成像，核磁共振成像。您能給我們講一下這個故事嗎？
陶：我想這大概是2006年、2005年。我認為加州大學洛杉磯分校校園裡有一個跨學科專案，涉及多尺度幾何分析或類似的東西，他們聚集了對多尺度型別幾何本身感興趣的純數學家，還有那些有非常具體的資料型別問題的人。
我剛剛開始研究隨機矩陣理論中的一些問題，所以我被認為是可以操縱矩陣的人。我遇到了一個我已經認識的人，Emmanuel Candès，因為當時他就在加州理工學院的隔壁工作。他和另一位合作者 Justin Romberg發現了這種不尋常的現象。
他們正在檢視核磁共振影象（MRI images），但速度非常慢。為了收集足夠的真正高解析度的人體影象，或者足夠多的影象來捕獲腫瘤，或者想要找到的任何醫學上重要的特徵，通常需要幾分鐘的時間，因為他們必須掃描所有這些不同的角度，然後合成數據。事實上，這是個問題，因為例如小孩子，僅僅在核磁共振儀中靜坐三分鐘就很成問題。
因此，他們嘗試了一種不同的方法，使用一些線性代數。他們希望獲得10%、20%的效能提升。您知道，透過稍微調整標準演算法可以得到稍微清晰的影象。
因此，標準演算法被稱為最小二乘近似（least squares approximation），而他們正在做其他事情，稱為總方差最小化（total variation minimization）。但當他們執行計算機軟體時，他們幾乎完美地重建了測試影象。巨大的進步。他們無法解釋這一點。
但Emmanuel參加了這個專案，我們在喝茶聊天。他剛剛提到了這一點，實際上，我的第一個想法是，一定是計算錯誤了，他說的實際上是不可能的。我記得那天晚上回到家，試圖寫下一個實際的證明，證明他們所看到的事情實際上不可能發生。然後到了一半，我意識到我做出了一個不正確的假設。我意識到它實際上可以起作用。我想出了可能的解釋。然後我們一起工作，我們實際上找到了一個很好的解釋並發表了它。
一旦我們這樣做了，人們意識到，在許多其他情況下，你必須進行通常需要大量資料的測量，並且在某些情況下，你可以採用更少的資料量，但仍然可以獲得非常高的解析度測量。
所以現在，以現代 MRI 機器為例，過去需要三分鐘的掃描現在只需 30 秒，因為這個軟體、這個演算法現在是硬連線、硬編碼到機器中的。
SS：這是一個美麗的故事，這是一個很棒的故事。我的意思是，在醫學成像的背景下談論正在改變生活的重要數學。我喜歡它的偶然性和你的開放心態，聽到這個想法然後想，好吧，“這是不可能的，我可以證明它。”然後意識到，實際上是可能的。很高興看到數學產生如此大的影響。
好吧，我想我最好讓你走，陶。很高興與您討論好數學的本質。非常感謝您今天加入我們。
參考資料：
https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0702396
https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Von_Neumann_Part_1/
https://arxiv.org/archive/math
https://mathscinet.ams.org/mathscinet/publications-search
https://terrytao.wordpress.com
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