一線教師如何深入理解教科書，特別是其結構化特徵呢？
原標題 | 《以結構化視角理解和使用數學教科書》
教科書的重要性不言而喻。它不僅僅是學校教育教學的基本依據，更是落實立德樹人根本任務、提升教育核心競爭力、傳承和弘揚文化自信、服務國家戰略和民生需求的重要載體。在貫徹執行“國家事權”的基礎上，教科書既要依據課程標準，反映數學本質，對內容進行結構化整合，又要遵循教育教學規律和學生身心發展規律，設計促進學生主動參與的學習活動，使學生在經歷知識的產生與發展過程中獲得“四基”（數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），培養“四能”（從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力），發展數學核心素養，還要促進教師轉變教學觀念，改進教學方式，提高教學質量。
《義務教育課程方案（2022年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》所倡導的核心素養、單元教學、數字智慧等理念，已在一線教師中深入人心。課程內容作為實現課程目標的關鍵載體，課標明確要求設計體現結構化特徵的課程內容。因此，教科書編寫首要考量的便是如何實現結構化。
在參與教師培訓的過程中，我深切感受到一線教師對教科書的重視，他們投入大量時間進行研讀和集體研討，為教科書的有效使用奠定了堅實基礎。然而，在理解教科書的過程中，一些教師仍缺乏結構化的意識。比如有的教師忽視教科書的整體性，僅著眼於章節順序和課時安排；有的教師則過於拘泥於細節，如質疑應用題中商品價格的真實性；更有教師在大單元、大概念、大情境的理念指導下，對教科書進行大膽切割與重組，卻無形中破壞了教科書的結構與邏輯。
那麼，一線教師如何深入理解教科書，特別是其結構化特徵呢？
1. 教科書為何要進行結構化設計
課程內容結構化作為課標中的核心理念之一，體現了對數學知識體系整體性和關聯性的高度重視，旨在強化知識之間的內在關聯，凸顯學科本質與思想方法，從而促進學生建構知識，提升數學思維能力，實現課程育人的功能。
為此，課標基於學科核心素養的發展要求，遴選重要觀念、主題內容和基礎知識設計課程內容，將課程內容分為數與代數、圖形與幾何、統計與機率、綜合與實踐四個領域，前三個領域以數學核心內容和基本思想為主線循序漸進，每個學段細分為若干不同的主題。
教科書在編寫過程中，首先就是進行結構化設計。結構化設計能夠——
提升知識的系統性和連貫性。透過結構化設計，將教科書中的知識點進行整合與歸類、刪減與調整，形成清晰的知識結構，凸顯核心概念和主幹知識，使內容主題更加鮮明。這有助於教師把握教學的重點和難點，幫助學生更好地理解和掌握知識。
增強教學過程的連貫性。結構化設計強調教學過程中思想的一致性、方法的一般性和思維的系統性。它能夠呈現知識之間的內在聯絡和邏輯關係，使教學過程更加順暢和連貫。這有助於教師按照知識的邏輯順序進行教學，避免知識點的跳躍和重複，幫助學生形成完整的知識鏈條，提高教學效率和學習質量。
符合學生的認知規律和心理發展特點。結構化設計能夠引導學生逐步構建自己的認知結構，形成系統的思維方式。學生在學習過程中不僅能夠掌握具體的知識點，還能夠理解知識點之間的聯絡和區別，從而培養分析問題和解決問題的能力。
因此，數學教科書進行結構化設計是為了確保知識體系的完整性、教學過程的連貫性、學生認知結構的構建以及教學效率和學習質量的提高，有助於實現課程育人的教育目標。
2. 人教版教科書的結構化安排
人教版教科書在體系結構上，既關注知識內容的數學邏輯，也關注學生學習的心理邏輯。
整體的框架設計。教科書重視同一領域內容的邏輯關係，同時關注不同領域內容之間的銜接和溝通。比如，對於數與代數領域的內容，按照“數—式—方程—不等式—函式”的順序劃分，反映了人們認識事物的角度和深度的變化，即從數（量）到數量關係，再具體為等量關係和不等關係，然後研究變數關係，共分為17章。對於圖形與幾何領域內容，課標按照幾何學發展歷史中的研究方法，給出圖形的性質、圖形的變化、圖形與座標3個主題。教科書按照圖形從簡單到複雜的主線安排，即從直線形（直線、射線、線段及由它們組成的多邊形）到曲線形（圓），再到直線形與曲線形的結合（多邊形和圓）的順序來設計的，並結合數與代數領域的內容，將圖形的變化、圖形與座標適當穿插其中，共分為14章。對於統計與機率領域，由於內容較少，只有3章。對於綜合與實踐活動領域，以問題解決為導向，整合其他3個領域的內容與其他學科的知識和思想方法，共設計有12個活動，讓學生從數學的角度進行觀察與分析、思考與表達，解決與闡釋現實問題。
這樣，初中數學課程內容共有34章，12個綜合與實踐活動，“平均”分佈在6冊教科書中。結合初中總複習的教學現狀，前5冊教科書每冊有6章，最後一冊教科書只有4章，每冊教科書有2個綜合與實踐活動。考慮到初中學生的認知水平和認知基礎，整體上代數內容比幾何內容稍靠前。
章節之間的結構安排。教科書既考慮了知識的螺旋上升，也考慮了數學思想和方法的深入理解。比如，對於方程和函式內容，具體編排時，教科書按照“一次”和“二次”的數量關係，使方程和函式交替出現，即按照一次方程（組）、一次不等式、一次函式，到二次方程、二次函式的順序螺旋上升，不斷深化對方程和函式中蘊含的思想的認識；對於數和式的內容，則根據研究相應方程（不等式）和函式的需要分散安排。對於內容相關的章節，各章之間保持了結構的一致性，比如關於方程3章的安排（具體如下表）遵循從概念到解方程，再利用方程解決實際問題的結構，凸顯了方程的研究主線。
章節的內容呈現結構化。比如，對於有理數的內容，教科書分為兩章，第一章“有理數”包括“正數和負數”和“有理數及其大小比較”兩節內容，第二章“有理數的運算”包括“有理數的加法與減法”“有理數的乘法與除法”和“有理數的乘方”三節內容。這兩章整體上是按照“概念—比大小—運算”的結構體系展開的。
對於“數”的內容，德國數學家克羅內克有一句名言“上帝創造自然數，其他的數都是人造”。對於有理數的內容，教科書既說明了有理數包含哪些內容，又強調了“人是如何造有理數的”，即數系擴充的思想。
章節內的複習和例習題設計。教科書在這方面也遵循了結構化原則。透過章節知識結構圖、回顧與反思等內容，以及設定承前性習題、啟後性習題和反思性習題等不同型別的習題，引導學生主動建構當前知識與以前學習經驗的內在聯絡，並引發他們對未來學習內容和方法的思考或嘗試。這樣的設計能夠幫助學生更好地鞏固所學知識，提升他們的數學能力和思維水平。
除此之外，教科書還注重學科之間的聯絡，不僅包括數學與物理、化學、生物等理科課程的聯絡，也包括與其他人文、藝術、體育等學科的關聯，讓學生感受到數學是人類文明的重要組成部分，是自然科學的重要基礎，在社會科學中也發揮著越來越重要的作用。 何理解與使用教科書
3. 教師如何理解與使用教科書
一線教師如何深入理解教科書的結構化呢？可從以下幾方面入手。
大學數學的視角。數學學習是一個由淺入深、逐步抽象的過程，中學數學知識為大學數學知識的學習奠定了基礎，而大學數學則是對中學數學內容的深化與拓展，這不僅僅體現在知識內容的廣度和深度上，更在於數學觀點、思維方法和問題解決策略的提升。從中學數學到大學數學的學習，通常是一個從具體到抽象、從直觀到嚴謹的過程。反之，從大學數學的視角回望中學數學，不僅僅是從抽象概念回到具體例項的過程，更是一種以宏觀和深刻的視角揭示數學內容內在聯絡和本質規律的方式。
比如，對於有理數的內容，在大學數學知識體系中，是透過數域和實數空間理論來研究。對比之下，初中教科書的章節設計也凸顯了“有理數是全序域”的結構，但教科書絕不是把大學數學內容簡單下放到中學。大學數學的內容是以公理化體系展開的，注重演繹推理，相對而言，中學數學內容是選擇了基礎的、重要的，與學生認知能力相匹配的內容，並以具體、直觀的方式呈現了序的公理和域的公理的核心內容，注重知識的形成過程，以此幫助學生逐步建立起系統的認知結構。比如，大學數學研究有理數加法，首先要考慮的是兩個有理數之和的存在性和封閉性，但是中學教科書是基於現實情境，透過分類、歸納得到有理數加法法則，然後直接給出“顯然，兩個有理數相加，和是一個有理數”，再基於數學情境，透過具體計算，歸納概括得到有理數加法的運算律。
數學歷史發展的視角。數學史記錄了數學概念、定理和方法的形成過程，揭示了這些知識的內在聯絡及其反映的數學思想和社會文化背景。從數學歷史發展的視角來理解中學數學課程，可以讓教師有更全面、更深刻的感受，幫助他們更好地理解教科書的結構化設計。以數的發展為例，中小學學習數的過程和數系的發展歷史有所不同（見下圖）。
回顧歷史，17世紀牛頓和萊布尼茨創立了微積分，但由於缺乏嚴格的邏輯基礎，這一體系存在許多邏輯漏洞和悖論，引發了第二次數學危機。直到19世紀，數學家開始致力於解決這些問題，透過建立嚴格的實數理論為微積分提供堅實的數學基礎。此時，數的範圍從有理數擴充到實數，使得對非負實數的開方運算和極限運算封閉。由於中學不學習極限理論，對於實數的概念是“講不清楚”的。因此，教科書的編寫不能照搬歷史，而是以典型範例的形式重點強調了“新數的存在性”，以及用有理數研究無理數的過程和方法，並有意識地建立實數與函式、導數內容之間的聯絡。
多角度比較的視角。理解教科書的視角是多方面的，比如透過中小學不同學段的教科書比較、數學教科書的歷史演變和不同版本的教科書在內容編排和呈現方式上的比較等，教師可以更全面地理解教科書的結構化設計，從而更好地使用教科書進行教學。
由此，建議廣大一線教師要以學習者和研究者雙重角色理解教科書。教師應放下已有的知識經驗和教學經驗，先把自己置身於學習者的角色，以初學者的心態認真閱讀教科書，理解教科書內容“是什麼”。在理解教科書基礎上，教師應充分調動已有的學習經驗和教學經驗，再將自己置身於研究者的角色，以研讀者的心態審視教科書，不斷追問為什麼這樣處理？有哪些優點和不足？還可以怎樣處理？為此，教師可以藉助課標對教科書編寫的建議，透過文獻追本溯源、比較分析等方式理解教科書內容中的“為什麼”。理解了教科書才能用好教科書。
前面提到，單元教學設計在中小學教學中受到廣泛重視，這也是課標倡導的理念之一。相比課時教學，單元教學最大的特點就是整體性和有序性，特別強調教學內容的結構化處理。在數學課堂教學中，單元教學設計中的“單元”構建往往圍繞數學學科框架體系內的核心學習內容來組織，尤其對於新授課，通常以數學知識體系作為劃分單元的主要依據。而準確把握教科書中內容的結構化，是合理劃分教學單元的基礎，是實現教科書單元向教學單元有效轉化的橋樑，也是實現教學過程結構化的必要條件。
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來源 | 《中國教師報》現代課堂版
作者 | 劉春豔 北京教育學院教授、數學與科學教育學院副院長，人民教育出版社高中數學A版教科書和初中數學教科書編委。本文為中國教育學會專項課題“初中數學課程內容解析與教學建議”的研究成果，課題編號：22ZS111407ZB
