看點孩子總是學不好數學，是不夠聰明？還是數學真的太難？數學老師袁斌認為，其實本質原因有兩點，沒有學懂，或沒有好習慣。從這兩個底層邏輯出發，可以怎麼學數學？
本文轉載自公眾號：博雅小學堂（ID：boyakids）
文丨袁斌 排版丨Kiki
最近我的很多學生在跟我吐槽學數學時遇到的疑難雜症：
·課後筆記追記不錯，但學校2次考試，都只考了四五十分；
·上課聽不懂，做題沒思路；
·上課感覺聽懂了，做題也感覺很會，但出錯率奇高。
我跟他們做了一對一交流。像遇到第一個問題的學生，是個高中生。我給他一個建議，讓他去把課程內容，自己重新推導一遍。一週後他考試成績提升了30 分。
不是我厲害，是找到問題的本質出在哪兒後，解決其實並不困難。找不到問題的本質，就有點像無頭蒼蠅一樣亂轉，假勤奮。感動了自己，也拿不到成果。
所以我希望給大家一個清晰的概念：數學學習核心的“點”在哪。
所有學不好數學的孩子，其實歸根結底就是兩大原因：第一，沒有學“懂”；第二，沒有養成好習慣。
學不好數學，本質原因之一：
沒有學“懂”
什麼是沒有學懂”？
“懂”好像是個很模糊的說法，但我把“懂”分成了6個具體層級。
第一層級，知道認同。
有個特別具體的例子。前兩天我跟外甥女交流。她已經四年級了。因為我看她作業裡乘法分配律錯了不少，就跟她講乘法分配率的原理。
講著講著，我發現，她不光乘法分配率的原理不知道，她連乘法的原理都不知道。
比如2乘以3什麼意思？她不知道。我花了一個小時間給她講2乘以3，是3個2相加，或者是2個3相加。——可想而知，她在學校聽的是什麼。
這就是“知道認同”，孩子覺得老師講得挺有道理——反正老師講的都對，但是她其實是不理解的。
第二層級，理解含義。
他知道這是什麼，但不會用。這樣的情況也挺多的。
第三層級，能夠應用。
理解了，能夠用。很多孩子停留在這個層級了。
第四層級，知其所以然。
他既知道是什麼，也知道為什麼，來龍去脈是怎樣的。
第五層級，能遷移其所以然。
孩子能遷移到別的知識上去，這就要求他懂得知識之間的聯絡。
第六層級，能遷移背後的數學思想/哲學思想。
舉個例子。很多孩子能在平面直角座標系上，找到一個點的座標。但你再給他個空間直角座標系，完全懵了。
原因就是，他只“懂”了前三個層級，但到第四個層級，——為什麼一個點的座標是往左和往下各做一條垂線，他就不知道。
如果他知道這個原理，遇上空間直角座標系，那他就同樣知道可以往三個座標軸做垂線，找到座標。這就是能夠遷移，背後是轉化的思想。
為什麼我強調孩子“懂”的層級？
他理解到什麼程度，決定了能舉一反三到什麼程度。他是同類的題會做，還是說連同一思想的題都會做？舉一反三的範圍，不一樣。
反過來，他如果連為什麼這個知識點是這樣的，都沒搞清楚，你要他去遷移，根本不可能。因為他看到的就是不同的東西，而不是它們共同的本質。能看到本質，一定是理解到背後的“為什麼”，或者共同的數學思想。
其實，大部分學生“懂”的層級都沒有超過前三級，這就是為什麼很多孩子數學得吃力。他沒想明白一個數學做法背後的原理，只能說學到什麼用什麼，那學的東西一多，自然效率就不夠，時間就不夠，數學就成了一件很難的事情。
學不好數學，本質原因之二：
沒好習慣
接下來我們講習慣問題。
很多家長說，孩子總是計算扣分，是馬虎嗎，粗心嗎？答案肯定不是。
因為你一次不小心，那是不小心。你次次不小心，總不能說自己總是不小心吧？本質還是習慣沒有養成。
那首先，我們需要界定清楚，什麼是學習上的好習慣？
我把大家普遍認為的好習慣列一下：課前預習、認真聽課、做錯題本，還有每天練一些計算題。但這些，我覺得都稱不上是好習慣。
為什麼我這麼說？
舉一個最簡單的例子，認真聽課是好習慣嗎？在我看來，認真聽課只是個形式，談不上說是一個好習慣。
因為我剛才講，“懂”分六個層級，認真聽課，很可能就只停留在第一個層級“知道認同”。
看起來他恨不得把老師講的每個字都抓到耳朵裡，但問題的核心是他的腦子有沒有開動呢？有沒有思考清楚來龍去脈，會不會遷移？如果沒有，確實談不上好習慣。
再比如說做錯題本。前兩天有個家長給我發訊息，他孩子六年級的，數學考了70多分，然後學校老師讓他把錯題抄一遍，並要求家長監督。
這在我看來，其實也很難奏效。如果沒有理解做錯的原因，抄錯題只是形式，浪費時間而已，假性勤奮。
還有家長說，孩子計算不好，就要多練習，每天練個5道、10道。同理，這也是形式而已。對提升正確率有沒有幫助？
說實話，如果你的孩子正好是什麼習慣都好，只是熟練度不夠，這個方法是有幫助的。
但很多孩子並不是熟練度的問題，而是習慣不好，比如計算亂塗亂改、跳步、不打草稿等等，這才是真問題。
如果不認識到這些問題去改這些習慣，甚至有的家長還限時掐表，要求做題速度，你想想這是在強化孩子的正確習慣，還是在強化他錯誤的原有習慣？稍微一想就知道，只是海量練習，算不上一個解決問題的好辦法。
所以什麼叫好習慣？
好習慣，不僅僅是你做了某件事，更重要的是你怎麼完成這件事的。所以我們強調的好習慣，更多時候要充滿細節。
以計算習慣為例。
比如，很多孩子不打草稿，為什麼？因為在他眼裡面，打草稿又浪費時間，又很費勁，所以他不愛打草稿。
那什麼是計算習慣的細節？我們看下面這道題，只看分子：
你發現沒有，-2 (x-1)²，這一步要算兩步。而後面那幾個括號只需要算一步，在這種情況下，我們就可以這樣規劃，把需要算兩步的打在草稿紙上。
這樣做有什麼好處呢？首先，他並沒有多算，不會浪費時間，也解決了跳步的問題。同時以防他要把每一步驟都列上去，導致抄寫繁雜，易出錯。
所以孩子沒有理解的是，打草稿其實是控制計算節奏。有點像彈鋼琴，保證節拍。這就是一個計算的習慣，它是一個細節。
我給清北班的學生上第一節課，就講怎麼計算，有很多細節。包括：數字怎麼書寫；打草稿的時候怎麼排版；草稿紙怎麼用；哪些步能跳步，哪些步不能跳……都是要講清楚的。因為這些東西影響他計算的正確率。
所以不是那麼簡單地說，“你多算幾遍”，或者“你細心一點”，就能夠幫他減少計算錯誤率，沒有那麼簡單。
計算習慣，是肌肉記憶，有點像跳舞。你看到舞臺上的舞者，姿勢優美，身材輕盈，跳一場舞酣暢淋漓。那是每天專項訓練，無數細節融合而成的肌肉習慣。這個咱們看不到的，看到的只是最後呈現出來的樣子。
同樣，在計算上，很多人只看到最後計算呈現出來的就是 100% 正確率或者 90% 正確率。但是這些正確率背後就是由一個一個的細節組成的。如果不去調整細節習慣，那很多時候再怎麼練習，也很難拿到好結果。
計算這樣，審題習慣也是。
很多學生覺得審題就是打個圈，甚至連圈都不打。他相信自己目光如電，一掃而過，整個題都印到了我心中。那才見鬼。怎麼可能？
數學裡邊的審題是有很大講究的。你讀古文是不是有一種感覺，文需字字讀，要是漏一個字，可能意思理解就不對了。因為我們知道，古文的含義是特別豐富的。
其實，數學語言更是世界上最簡潔的語言，數學的題目更加是，“文需字字讀”。他如果只是簡單掃一遍題目，或者簡單畫個圈什麼的，根本沒有辦法解讀出背後隱藏的資訊。
我給大家做個示範，如下圖。數學題目是要做翻譯的，每一句數學題目的文字語言，都需要翻譯成數學語言。
再比如說總結習慣。很多家長說，我們家孩子初二，前面學得還好好的，為什麼一學到全等三角形，全不明白了。
我說，不明白就對了。為什麼說初二開始兩極分化，就是卡在全等三角形這個章節？因為全等三角形是幾何證明的真正開始。
所有的代數，你如果做翻譯的話，會發現它只有一個翻譯，基本上方向是唯一的。但幾何一個條件，比如說中點，可以去想中位線，可以想三線合一，還可以想背長中線法，還還可以想三線斜邊中點。每一個條件它都有很多種可能性，這都需要總結。
如果他沒有做好總結，不知道各種可能性怎麼去思考運用，那麼就不太可能在考場的有限時間內，找到那個思路。
就跟走迷宮一樣，一個口有多少條岔路，一條一條去試，沒那個時間，對吧？碰運氣的話，大機率也碰不到。
所以這時候，他一定要有總結的習慣。所以到初二沒有學會總結的學生，不去追究這個輔助線為什麼這麼做的學生，幾何很難學好。
當然，除了計算、審題、總結習慣以外，還有很多別的習慣，比如說研究的習慣、聽課的習慣、課後筆記追記的習慣等等。每個習慣怎麼做，都有很多細節。
好習慣本質是提升他的學習效率和得分效率的。而好習慣都在細節裡。可以說，習慣，就是關於細節的。它要變成肌肉記憶，變成孩子一個做事的流程。
但也有句話說得好，懂了這麼多道理，仍然過不好這一生。習慣也不容易養成。如果說用一句話總結，習慣養成的核心秘訣是什麼？
習慣養成的本質，就是“高頻重複”。
高音歌唱家楊洋曾說，同樣上10節課，你每天上1節課的效果，遠遠強於你分10周每週上1節課的效果。習慣的核心就是高頻。
怎麼解決當前數學課堂存在的問題？
很多數學課存在什麼問題呢？
第一，以老師講解為主，學生聽課為主，缺乏主動思考。
第二，弱化概念和推導，強化刷題，學生不會舉一反三。
第三，就是對習慣養成，以強調為主，少有行動，沒有具體的細節操作可以幫助孩子落地。只是空說，能落地的可能性不是很大。
基於這些問題，孩子在理解的層次上，最多在我們前面講的“懂”前兩三個層級晃盪。
那我認為， 好的課堂是怎樣的呢？ 簡單分享下。
第一，課上以學生為中心，概念由學生定義，公式由學生推導，例題解答和總結也是學生先做，強互動。
所以，我上一堂課，可能就講1/3時間。怎麼知道孩子在這段時間有沒有思考呢？有一個守門員，叫筆記追記。
什麼叫筆記追記？就是我們要求， 上課學生不能做筆記，課後再去做追記。也就是說，根據學過的內容，自己去推導一遍。
這個時候，學生不可能靠死記硬背，只能自己推導，那至少達到了知其所以然的要求，避免只是“自己覺得聽懂了”，然後混過去。
第二，要達到能遷移，老師就必須要強調知識間的聯絡。
比如，這堂課的知識點是正負數相加，它的原理是什麼？很多同學會背正數加正數就是絕對值相加，負數加負數就是取負號，絕對值相加等等。這樣還是死記硬背，不會遷移運用知識的，學不活。
那我會帶學生怎麼做呢？畫一個數軸，用有方向的線段來表示，那麼正3 加負2，我們是往右跳3格，往左跳2格，這樣學生就能理解，它為什麼是這麼算。
當我們這麼考慮正負數加法的時候，其實已經是一個最簡單的同方向或者反方向的線段加法，也就是我們高中所謂的“向量加法”了。
那我們繼續考慮，如果這兩個不在同一方向或者相反方向，還能相加嗎？根據轉化的思想原理，不是同一方向，能不能轉化到同一方向呢？所以就把這兩個斜著的線段轉化成了水平和豎直的，它們就能相加了，這就是數學思想的遷移。
除了每一堂課的知識點強調前後聯絡，我們還會在知識模組上去強調前後聯絡。
以我們的代數課為例，先後涉及到知識點分別是，乘法公式、豎式除法、因式分解……一直到後面的一元二次方程和分式根式方程。有的家長會想說，現在我孩子才初一，校內沒有學這些知識，孩子這麼學完，會不會忘掉呢？不會的。
因為整式乘法公式是豎式除法的基礎，豎式除法是因式分解的基礎……也就是說，孩子每學後面一個模組都會用到前面模組的知識。這就相當於，你最開始學的東西，它一直在練，而不是說學了這個知識之後，我就馬上學另外一個知識，我就把它給忘掉了。
如果大家對人工智慧有所瞭解，應該知道在訓練過程中，訓練素材的比例會影響效率。例如，當訓練資料中舊材料佔85%，新材料佔15%時，往往能達到最高的效率。
其實對於學生來說也是一樣，當新舊知識的比例達到80%比20%，甚至85%比15%的時候，他的學習效率是最高的。他會感覺，每一節課，都是舊知識稍微變了一下，長出來一個新知識，這就會比較適合學習曲線，學習效率會高一些。
最後，我還非常強調，數學思想和哲學思想。
說到這些東西，可能很多家長會覺得特別懸。到底什麼叫數學思維呢？
首先，訓練數學思想的最簡單的辦法就是，一題多解、多解歸一，還有多題一解、多題歸一。什麼意思呢？
我拿一個學生例子。這是個深圳學生，上初三，但他已經上完高中內容，而且也透過了當地的直升考試。
他發過來的是，他的課後追記。比如裡面有“正難則反”的數學思想，怎麼反？
總結了5種“反”的方法：反證法，逆推，先猜後證，還有待定係數法。
那具體每一種數學方法都是什麼時候用？透過這個孩子總結的思維導圖就能看出來。
也就是說，我們對數學思想的理解也好，解讀也好，它不是簡單地，我告訴你一個什麼思想，然後你做這道題就用這個思想，這太懸了。
而是說，每一個知識點背後都有數學思想，每一個數學方法背後也都有數學思想。怎麼總結提煉呢？透過剛才講的，一題多解、多解歸一、多題歸一。
其實，整個小學、初中、高中一共就十一二種數學思想，那麼我們要做的，就是帶著孩子不僅把握了這些數學思想，而且把握了實現這些數學思想的各種工具，各種方法，各種知識點。這個時候他的數學思想才是活的。
我喜歡看玄幻小說，有一個東西叫“金手指”，它的爽點在哪？就在於你每次看到這些金手指，能夠解決各種各樣主人公碰到的困難，你覺得很爽。
那麼其實數學學得爽，也在於此，就是他會碰到各種各樣的難題，但如果他始終能有某些數學思想，他會發現，誒，這個題是用這個思想解決的，那個題也是用這個思想解決的，他就會有看網路小說的類似爽感，那種開了金手指無敵的感覺。
我覺得，這是孩子數學學習有很大樂趣，也是養成數學思維的必經之路。
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