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乘法知多少:從自然數到複雜數學物件的跨越

2025-01-30 23:38:57

本文作者:劉瑞祥。【遇見數學】感謝劉老師的投稿支援!

我們從小學就開始接觸乘法,可是你知道有多少種不同的乘法嗎?

最基本的乘法,當然就是自然數之間的乘法。我現在還記得小學開始學乘法口訣的時候,老師讓我們在作業紙上畫一堆小星星,比如五行六列,就是。

乘法口訣是最值得背誦的數學內容,而且幸運的是,我們中國人使用的漢語,是一種單音節語言,背起來簡直不要太方便。據說很多已經移民到國外的華裔,儘管生活中都已經用外語交流了,但只要提起背乘法口訣,就仍然用漢語。這真是老祖宗留給我們的財富。

這之後進一步的,我們就要接觸到小數、分數的乘法。於是,“越乘越小”這種奇怪的現象也出現了。“先約分再分子分母分別相乘”這樣複雜的法則也出現了。

注意,實際上我們在做多位數乘法的時候,就已經用到了乘法分配率,而涉及到小數乘法的時候,實際上也涉及到了“分子分母分別相乘”。只不過,小學生哪有那麼多的心眼呢?

接下來是正負數的乘法,其中最為人們困惑的,就是“負負得正”這個規則。現在一般是用速度、時間、路程來解釋的,比如以向東行駛為正,則向西為負,計時起點之後為正,則計時起點之前為負,那麼設有一人向西的速度為千米/小時,小時前位於什麼位置?顯然是在東邊千米處。但顯然更嚴謹的做法是從“數學”本身得出規則,幸運的是,“負負得正”給出的結果和數學的其他部分是相容的。

在開始下面的內容之前,我要插一段關於“乘方”運算的內容。本來乘方運算是連續自乘的簡寫,如同乘法是連續自加的簡寫一樣,但是正如乘法發展起來就脫離了原始的加法一樣,乘方運算發展到後來也和乘法幾乎沒有關係了。

初中除了引入負數外,我們還開始了字母運算,自然免不了整式、分式等等的運算,而其中的規則和整數、分數差不多。我以為,對於初中生來說,能明白整式、分式和整數、分數運算規則之間關係的,才算是學會了。

接下來就是無理數(式)的乘法。不過中學階段的無理數乘法,可不是建立在什麼實數理論上,而是直接給出√a √b=√(ab)。

以上這些,學的時候懵懵懂懂,好像也沒有誰對這些內容有特別的想法。一直到高中,接觸到了複數,好像乘法才有了點意思。乘法居然可以表示旋轉。

其實高中講到三角函式的時候有“積化和差”的,但可惜沒有哪個同學能聯想到這個和指數運算規則有關係。

我不知道現在的高中是不是學到向量的點乘和叉乘了,不過我覺得,老師講到這裡的時候一定要適當聯絡相關的物理知識,比如做功就是力和位移的點乘,帶電粒子在磁場中受到的力就是叉乘。當然,二者的背景遠遠不止這些,其餘比如科里奧利力,或者計算力矩等等,都是向量叉乘的物理意義。

叉乘有個新的特點,那就是不滿足交換律。這也是第一種不滿足交換律的乘法。

這之後,我們會遇到更多更復雜的數學物件,比如四元數、矩陣,其乘法也都不滿足交換律——即使是兩個同階的方陣相乘,也不滿足交換律。

另外,前面提到的點乘,有時又稱為“內積”,但是“內積”還具有更廣泛的含義,有時不只是代表一種乘法,還代表更抽象的運算,比如某些積分運算。看起來,數學家可以把定義玩出花來。

以上介紹了不同的乘法,你知道其中的哪些乘法?想不想了解那些你不知道的乘法?那就努力學習吧。

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