數學被視為宇宙的語言，是人類探索世界、推動科技進步的重要工具。人類利用數學方法來解決實際生活中的問題，推演客觀的聯絡和規律，搭建模型，供人們進行分析、預測、決策，這個過程被稱為“數學建模”。作為數學與現實生活的“跨界聯名”，數學建模早已入選高中新課標“數學六大核心素養”。北京十一中教師朱浩楠在《數學建模33講：數學與繽紛的世界》中討論了人類社會和自然界中的33個話題，從設計太空飛船，到解決繫鞋帶問題......講解了數學建模如何為現實生活需求建立合理有效的模型。數學有什麼用？如何發展新的數學教育？翻開《數學建模33講》，答案自然而來！
《數學建模33講》
作者：朱浩楠
01數學建模上下2000年
自 2000 多年前的阿基米德時代，數學建模就已經存在，阿基米德的槓桿模型是有史可循的第一個數學模型。
從那時起，數學建模的過程就被固定下來：發現問題、提出問題、提出基本假設、建立模型、求解模型、檢驗模型和應用模型。
在隨後的 2000 多年中，數學建模幫助數學學科內部發展出豐富的數學結構以刺激生長，為數學應用於其他基礎科學提供溝通橋樑，為基礎科學的工程實踐提供方法支撐，為資訊時代的資料探勘提供理論依據。
公元 1 世紀托勒密的《天文學大成》、17 世紀牛頓的萬有引力定律、19 世紀麥克斯韋的電磁學方程組、20 世紀夏農的資訊理論，這些耳熟能詳的先賢大師的曠世傑作都來自數學建模（圖 1）。
從某種意義上說，人類文明在這 2000 多年中的發展，正是數學建模在基礎科學、應用科學和社會生產生活三方面發揮作用並將其逐漸貫通的過程。
發展到今天，我們的日常生活已經離不開數學建模（圖 2）。
防盜門之所以能防盜，要仰仗三角形的穩定性，推拉門的靈活變形得靠四邊形的不穩定性，估計窗外樹枝的平均直徑需要應用幾何平均數，描述草原上狼和兔子之間的“相愛相殺”離不開動力系統，給圖片去霧霾可以藉助矩陣和一次函式，壓縮檔案離不開資訊熵和最優編碼，外賣和快遞小哥的工作排程被蒙日 – 安培方程所最佳化——所有這些都是數學建模。
人們每天自然地享受著數學建模所帶來的便利，無須停下匆忙的腳步去思考這些便利背後的原理。但就像 2000 年前古希臘人面對著漫天繁星，曠日持久地“發呆”之後創造出璀璨文明一樣，我們在享受便利的同時，也應當保有經常性的思考和好奇，才能將這些便利背後的原理、科學、思想和文化傳承和改進。
這種傳承和改進需要數學教育對學生從小就進行鋪墊和引領，數學教育應該具備這種意識和能力，以及加強培養富有好奇心的全面的人的功能。
02走進新課標的數學建模
慶幸的是，基於幾代前輩數學家和數學教育家的努力，數學建模終於從 2020 年開始正式進入國家高中數學課程標準。
各版本國家教材均將數學建模作為必修章節分配了專門的課時，北師大版高中數學教材更是將數學建模作為高中課程的主線之一。全國範圍內的學生活動、教師培訓和選拔、教材教法分析和高考命題改革也在如火如荼地展開。
大學數學建模從 20 世紀 80 年代就開始推動，到 2010 年前後已經相當繁榮。目前各優秀高校不僅開設了數學建模課程，有的高校還組織了數學建模社團，各種面向大學數學建模的教材和讀物如雨後春筍般湧現。
在中小學數學建模教育方面，除剛面世的各版國家教材之外，2017 年國際數學建模挑戰賽組委會出版了《數學建模教學與評估指南》，當中基於國外多年實證研究的成果介紹了從幼兒園到大學各學段的數學建模培養目標和教學建議；2019 年北京師範大學的劉來福教授出版了《高中數學建模》，是一本很好的高中數學建模選修課教材；2020 年我透過清華大學出版社出版了《面向建模的數學》，用另一種形式將數學建模案例、思想和方法有機地呈現出來。
但與大學數學建模教育相比較而言，中小學數學建模教育尚處於起步和探索階段，無論是師資、文獻、教材還是科普讀物依然十分匱乏，僅僅靠上面屈指可數的幾本教材無法支撐這份利在千秋的事業。
面對國家 2035 年和 2050 年兩個重要的戰略時間節點，急需越來越多適合中小學師生閱讀的數學建模科普讀物。本書就是在這個背景下所作，希望能夠為後來者拋磚引玉。
本書收錄了 33 個研究話題。這些話題來自眾多領域，但都與日常生活息息相關。在這些話題中，有的是經典方法在新形式下的重新呈現，有的是根據我在日常生活中的所思所想而提出的原創話題。
每個話題在創作時嚴格遵循如下四個原則，它們不僅可以被視作本書的特點，也能為其他面向中小學的數學建模科普工作提供參考。
03數學體驗集的4個原則
原則 1：真實問題，感性激勵
我們都很清楚，並不是一句話有道理，別人就會理解，人們只會理解他們願意理解的內容。本書中的所有話題均有十分明顯的生活背景，便於學生接受和理解，讓所有的學生都有的可想、願意去想。
一個經典的例子見於《數學建模教學與評估指南》的附錄 2，話題為“幫助男生 A 在追求女生 C 的過程中勝過男生 B”。這是大學生很熟悉也很感興趣的日常話題，學生一開始並不會直接建立數學模型去解決這個問題，而是會按照生活經驗進行討論和分析，直到發現該問題的本質難點（不同學生髮現的本質難點可能會不同，這十分正常），才想到借用數學的力量去攻克。這個過程中“為什麼要用數學”“在哪裡用數學”“用什麼數學”在感性激勵之下獲得了自然而流暢的解決。但是，如果我們將這個話題佈置為“幫助企業 A 在併購企業 C 的過程中勝過企業 B”，學生就會感到十分陌生，不知道怎麼思考，找不到切入點，呈現出一種不知所措的迷茫狀態。
數學建模作為數學思想方法，什麼時候使用什麼樣的數學建立什麼樣的模型，其藝術性大於技術性，於是，感性激勵往往起到引領方向的作用。
原則 2：課標為基，適當拓展
作為一本主要面向高中生和低年級本科生的讀物，本書在素材和講法的選取上儘量貼近高中課程標準，也因此對某些經典方法進行了初等改寫或用初等辦法重新解決。但因為部分問題完全用高中知識解決起來過於煩瑣，所以在工具選取上，本書部分內容在高中課標基礎之外略有提升和拓展。當然，提升和拓展的原則是不超過優秀高中生可以理解和掌握的範圍。
原則 3：難度遞進，培養能力
本書中每一講內容的展開均遵循從易到難的原則，並且在每講開頭標註了閱讀該講所需的高中數學知識。讀者只要學會了該講所標註的高中數學知識，就能無障礙地理解該講前1/3的內容；但是，讀者需要對相關高中知識有較為深刻的理解並達到熟練使用的程度，才能無障礙地理解中間1/3的內容；而每講最後1/3的內容則需要讀者具有較高的包括自學和原創能力在內的綜合素養才能透徹理解。
因為各地各校的學業進度和授課順序不同，所以讀者不必從頭至尾順序閱讀本書，而應當根據自己的學業進度和學業水平，先選擇自己已經學過的知識板塊所對應的話題閱讀。如果遇到某些內容暫時無法理解的情況，建議過一段時間之後再重讀，以此觀察自己的能力是否有所提升。
從這個角度來說，本書十分適合高中生用來檢驗所學課內知識的掌握水平，也適合低年級本科生檢驗自己的基本數學能力水平。
原則4：任務載體，用以致學
為了便於讀者先於正文內容瞭解話題內容和相關問題，本書在每講之前寫有導讀，內容包括該講話題介紹、研究目標和成果、所採用的基本方法、所需要的高中預備知識以及內容梗概等。這樣做的最重要目的是幫助讀者帶著問題去閱讀正文，提升閱讀效率，有更多收穫。
實際上，本書並不希望讀者在閱讀完一講之後牢記相關問題的解決辦法，馬上“學以致用”——特別是，對於中學生來說，受限於所掌握的知識量和能力水平，通常還達不到可以大範圍“學以致用”的程度——而是希望讀者透過對各講話題的思考和解決來提升自己的數學思想方法，對相關課內知識有更深的理解，以此達到“用以致學”的目的。
我一向認為數學乃至一切科學的所有意義和最終歸宿都是“愛”——愛自己、愛天地、愛眾生。我希望數學帶給人們的是內心的安寧與思想的愉悅，而非互相競爭和追逐功利所帶來的焦慮與恐懼。
《數學建模33講》並不是一本數學教材，而是一本數學體驗集。我希望透過這本書，讓僅具有高中知識背景的讀者——那些青春洋溢、熱愛科學、渴望思考、憧憬價值的青少年，可以在課內學業的重壓之下，重拾對於數學的喜愛，並建立透過數學來觀察、描述、解析和傳遞世界之美的信念，激發繼續學習數學的渴望——尤其是，以數學建模的方式。
上文轉自圖靈新知，節選自圖靈《數學建模33講》，【遇見數學】已獲轉發許可。
作者：朱浩楠
數學建模，高中新課標“數學六大核心素養”之一
全綵印刷，圖文並茂，輔以大量圖表、多媒體，高中水平就能輕鬆掌握的數學建模知識
系統整合課內知識點，將課堂所學與生活、科技熱點相結合
緊跟學科發展趨勢，直擊數學建模核心，全面提升數學思維
張平文院士、林群院士、普高數學課程標準修訂組組長王尚志聯袂推薦
